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An ́alise Matem ́atica. Curso 2020-2021. Grao en Enxener ́ıa Inform ́atica. ESEI Ourense. Departamento de Matem ́aticas. Universidade de Vigo. Data: 19/01/2021 EXAMEN FINAL APELIDOS NOME DNI NOTA NOTA 1: Realizar os c ́alculos con 6 cifras decimais redondeadas. Po ̃ner a calculadora en modo RADIANS. ́ 1. Representar gr ́aficamente os seguintes conxuntos e determinar (se exis- ten) o seu m ́ınimo, m ́aximo, ́ınfimo e supremo: a)A = {x 2 R : |2x2 12x + 16| < 1}. b)B = {e 1/n : n 2 N}. Solucion: ́ a) Como |2x2 12x + 16| < 1 () |2x2 12x + 16| 1 < 0, estudiamos as ra ́ıces da funci ́on continua y(x) = |2x2 12x + 16| 1, ́e dicir, y(x)=0 () |2x2 12x + 16| = 1 () 2x2 12x + 16 = 1 ou 2x2 12x + 16 = 1, de onde se obte ̃nen as catro soluci ́ons x1 = 6 p6 2 ' 1.775255, x4 = 6 + p6 2 ' 4.224745, x2 = 6 p2 2 ' 2.292893, x3 = 6 + p2 2 ' 3.707107. Logo y(x) ten signo constante nos intervalos ( 1, x1), (x1, x2), (x2, x3), (x3, x4) e (x4, +1) e para determinar o seu signo basta obter o valor de y(x) nun punto x calqueira de cada intervalo: x =0=) y(0) = 15 > 0 =) y(x) > 0 para todo x 2 ( 1, x1), x =2=) y(2) = 1 < 0 =) y(x) < 0 para todo x 2 (x1, x2), x =3=) y(3) = 1 > 0 =) y(x) > 0 para todo x 2 (x2, x3), x =4=) y(4) = 1 < 0 =) y(x) < 0 para todo x 2 (x3, x4), x =5=) y(5) = 5 > 0 =) y(x) > 0 para todo x 2 (x4, +1), Polo tanto, A = (x1, x2) [ (x3, x4) = 6 p6 2 , 6 p2 2 ![ 6 + p2 2 , 6 + p6 2 ! . 1
x1 x2 x3 x4 A partires da representaci ́on gr ́afica do conxunto A deducimos que: M(A)=[x4, +1), m(A)=( 1, x1] , A \ M(A) = ; =) Non existe m ́ax(A), sup(A) = m ́ın M(A) = x4 = 6 + p6 2 ' 4.224745, A \ m(A) = ; =) Non existe m ́ın(A), ́ınf(A) = m ́ax m(A) = x1 = 6 p6 2 ' 1.775255. b) O conxunto B = {e 1/n : n 2 N} est ́a formado polos elementos da sucesi ́on e 1 ' 0.367879, e 1/2 ' 0.606531, e 1/3 ' 0.716531, e 1/4 ' 0.778801,... Tr ́atase dunha sucesi ́on crecente e que se aproxima ́o valor 1 pero sen chegar a alcanzalo porque l ́ımn!1 e 1/n = 1 pero e 1/n 6= 1 para todo n 2 N. e 1 ... 1 A partires da representaci ́on gr ́afica do conxunto B deducimos que: M(B) = [1, +1), m(B) = 1, e 1⇤ , B \ M(B) = ; =) Non existe m ́ax(B), sup(B) = m ́ın M(B)=1, B \ m(B) = {e 1} =) m ́ın(B)=e 1, ́ınf(B) = m ́ax m(B)=e 1. 2. Estudiar o car ́acter (converxente ou diverxente) das seguintes series: a) X1 n=1 n + 2 2n2 1 . b) X1 n=1 3n n! · 2n . Solucion: ́ a) Dada an = n+2 2n2 1 > 0 usaremos o criterio de comparaci ́on no l ́ımite con bn = 1 n > 0. Como l ́ımn!1 an bn = l ́ımn!1 n + 2 2n2 1 1 n = l ́ımn!1 n(n + 2) 2n2 1 grado num.=grado den. = 1 2 > 0, 2
as d ́uas series P1 n=1 an e P1 n=1 bn te ̃nen o mesmo car ́acter. Posto que P1 n=1 P bn = 1 n=1 1 n ́e diverxente, por tratarse da serie arm ́onica con ↵ = 1, ent ́on X1 n=1 an = X1 n=1 n + 2 2n2 1 ́e diverxente. b) Como ́e unha serie de termos positivos an = 3n n! · 2n > 0 podemos intentar aplicar o criterio do cociente l ́ımn!1 an+1 an = l ́ımn!1 3n+1 (n + 1)! · 2n+1 3n n! · 2n = l ́ımn!1 3n+1 · n! · 2n 3n · (n + 1)! · 2n+1 = = l ́ımn!1 3 2 · (n + 1) =0= L < 1, e polo tanto a serie X1 n=1 3n n! nn ́e converxente. 3. Consid ́erese a funci ́on H(x) := Z x2 0 cos(sen(t))dt para x 2 R. a) Calcular H0 (x). Solucion: ́ Definimos as funci ́ons F(x) = Z x 0 cos(sen(t))dt e G(x) = x2. Clara- mente H = F G, polo que usando a regra da cadea e o Teorema Fundamental do C ́alculo (seg ́un o cal F0 (x) = cos(sen(x))) obt ́ense que H0 (x)=(F G) 0 (x) = F0 (G(x))G0 (x) = cos(sen(x2))2x. b) Calcular l ́ım x!0 H(x) 1 e x2 . Solucion: ́ Como se trata dunha indeterminaci ́on 0/0 aplicamos a regra de L’Hˆopital: l ́ım x!0 H(x) 1 e x2 = l ́ımx!0 H0 (x) e x2 ( 2x) = l ́ımx!0 cos(sen(x2))2x e x2 2x = l ́ımx!0 cos(sen(x2)) e x2 = 1 1 = 1. 4. Xustificar a converxencia ou diverxencia das seguintes integrais impropias. En caso de ser converxentes calcular o seu valor: a) Z +1 0 xe xdx. b) Z 0 1 x 1 + x4 dx. Solucion: ́ a) Pola definici ́on de integral impropia Z +1 0 xe xdx = l ́ım b!+1 Z b 0 xe xdx. 3