Tiêu đề Tổng hợp đề thi cuối kỳ Giải tích 2 - Nhóm ngành 2.pdf ✅

ĐỀ THI CUỐI KÌ MÔN GIẢI TÍCH 2 – Học kì 20213 Mã HP: M1122, nhóm ngành 2. Thời gian: 90 phút. Chú ý: Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Câu 1 (1đ). Tìm a để điểm (0,0) là điểm liên tục của hàm số ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 4 4 khi , 0,0 , , khi , 0,0 . x y x y f xy x y a xy   ≠ =  +  =  Câu 2 (1đ). Cho hàm số ẩn y x( ) xác định bởi phương trình y x xy xe ye e + = . Tính y′(0) . Câu 3 (1đ). Viết phương trình tiếp tuyến và pháp diện tại P(1,1, 1− ) của đường 2 22 2 3 6, 32 0 xyz x yz  ++=   − += . Câu 4 (1đ). Cho hàm số ( ) ( ) 2 3 u xyz x y z , , ln = ++ và hai điểm A(− − 1, 1,1), B(0,1, 1− ) . Tính ( ) u A ∂ ∂   theo hướng = AB    . Câu 5 (1đ). Đổi thứ tự lấy tích phân ( ) 2 1 2 0 , x x dx f x y dy − ∫ ∫ . Câu 6 (1đ). Tính diện tích mặt paraboloid 2 2 z x yz =− − ≥ 1 ,0 . Câu 7 (1đ). Tính ( ) ( ) 2 2 2 ABC y y dx y xy dy − ++ ∫ , với ABC là đường gấp khúc đi qua A B (1,0 , 0,1 ) ( ) và C(−1,0) . Câu 8 (1đ). Tính ( ) 2 1 D + −x y dxdy ∫∫ , với Dx y : 1 + ≤ . Câu 9 (1đ). Tìm cực trị của hàm số ( ) 2 4 4 zx y xy =+− − 2 . Câu 10 (1đ). Tính 2 2 C ydx xdy x y − + ∫ , với C là đường 2 2 491 x y + = theo chiều ngược chiều kim đồng hồ.
Câu 1. Tìm a để (0,0) là điểm liên tục của hàm số ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 4 4 khi , 0,0 , khi , 0,0 x y x y f xy x y a xy   ≠ =  +  =  . Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 4 4 , 0,0 , 0,0 lim , lim x y x y x y f xy → → x y = + Đặt x ky = ( ) 223 2 5 44 4 4 4 0 0 lim lim 1 y y kyy ky → → ky y y k ⇒ = + + 2 4 0 lim 0 y 1 k y → k = = + ( 2 4 1 k k + liên tục trên  ∀x ) ( ) ( ) ( ) , 0,0 lim , 0 x y f xy → ⇒ = . Để điểm (0,0) là điểm liên tục của hàm số f xy ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) , 0,0 lim , 0,0 0 x y f xy f → ⇒ == ⇒ = a 0 . Vậy a = 0 để (0;0) là điểm liên tục của hàm số. Câu 2. Cho hàm số ẩn y x( ) xác định bởi phương trình y x xy xe ye e + = . Tính y′(0) . Đặt ( , ) y x xy F x y xe ye e =+− Ta có: ( ) ( ) ( ) y x xy y x xy F x e ye ye y x F y xe e xe − +− ′ ′ = = − ′ + − (0) 1 y e yy y y e + − ⇒ =− =− ′ Vậy (0) y y e ′ = − . Câu 3. Viết phương trình tiếp tuyến và pháp diện tại P(1,1, 1− ) của đường 2 22 236 32 0 xyz x yz  ++=   − += . Đặt ( ) ( ) 2 22 ,, 2 3 6 ,, 3 2 f xyz x y z g xyz x y z  =+ + −   =−+ 
Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n fP fP fP gPgPgP P = xyz x y z ′′′ ′′′ ;; ;; ∧ ( )  = −∧ − (2;4; 6 3; 2;1 ) ( ) = − − − =− ( 8, 20, 16 4 2,5,4 ) ( ) Phương trình tiếp tuyến của đường đã cho: 111 254 xyz −−+ = = Phương trình pháp diện của đường đã cho: 2 15 14 10 ( xyz −+ −+ += ) ( ) ( ) ⇔ + + −= 2 5 4 30 xyz . Câu 4. Cho hàm số ( ) ( ) 2 3 u xyz x y z , , ln = ++ và 2 điểm A B (−− − 1, 1,1 , 0,1, 1 ) ( ). Tính ( ) u A ∂ ∂   theo hướng = AB    . Ta có: AB = − (1,2, 2)  2 23 23 23 123 grad ; ; y z u xy zxy zxy z   =     ++ ++ ++  ⇒ =− grad 1; 2;3 u A( ) ( )  ( ) ( ) ( ) (1,2, 2 . 1, 2,3 ) ( ) grad grad 3 3 u AB A uA uA AB ∂ − − = = = = − ∂           . Vậy ( ) 3 u A ∂ = − ∂   Câu 5. Đổi thứ tự lấy tích phân ( ) 2 1 2 0 , x x dx f x y dy − ∫ ∫ Ta có: 1 0 2 : 1 2 x y D y  ≤≤−   ≤ ≤ ; 2 0 : 0 1 x y D y  ≤ ≤   ≤ ≤ Tích phân đã cho trở thành: ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 2 1 0 1 0 0 0 , ,, x y y x dx f x y dy dy f x y dx dy f x y dx − − = + ∫∫ ∫∫ ∫∫ .
Câu 6. Tính diện tích mặt paraboloid: 2 2 z x yz =− − ≥ 1 ,0. Công thức tính diện tích mặt cong: 2 2 1 Oxy x y D S z z dxdy = ++ ′ ′ ∫∫ . Hình chiếu của mặt đã cho xuống Oxy là: 2 2 : 1 D xy Oxy + ≤ Đặt: 0 2 cos 0 1 sin x r r y r J r φ π φ φ  ≤ ≤  =    ⇒ ≤≤  =   = 22 2 2 2 1 14 4 14 x y + + =+ + =+ zz x y r ′ ′ ( ) ( ) 2 1 2 0 0 1 55 1 1 4 2. 55 1 12 6 S d r r dr π π φ π − ⇒= + = −= ∫ ∫ . Vậy (5 5 1) 6 S π − = Câu 7. Tính ( ) ( ) 2 2 2 ABC I y y dx y xy dy = − ++ ∫ với ABC là đường gấp khúc đi qua A B (1,0 , 0,1 ) ( ) và C(−1,0) .   1 2 ABCA CA I I I = − ∫ ∫ Với ( ) ( ) 2 2 1 2 ABCA I y y dx y xy dy = − ++ ∫ Ta có: ABCA là đường khép kín, hướng của đường ngược chiều kim đồng hồ. ( ) { 1 1 1 : 0 1 221 yxy D y I y y dxdy −≤ ≤− ≤ ≤ ⇒ =+ − + ∫∫ 1 1 .1.2 1 2 D D = = = = dxdy S ∫∫ . Với ( ) ( ) 2 2 2 2 CA I y y dx y xy dy = − ++ ∫ Ta có: 0 0 :1 1 y dy x  =  ⇒ =  − →