Tiêu đề Chương 3_Bài 1_Giới hạn dãy số_CTST_Lời giải.pdf ✅

Chương 3: GIỚI HẠN. HÀM SỐ LIÊN TỤC Bài 1. Giới hạn của dãy số A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Giới hạn hữu hạn của dãy số Giới hạn 0 của dãy số Dãy số un  có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu n u nhỏ hơn một số dương bất kì cho trước, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu lim 0 0 . n n n u hay u khi n      Ta còn viết là lim 0 n u  . Ta thừa nhận một số giới hạn cơ bản sau đây:  1 lim 0 k n  , với k nguyên dương bất kì.  lim 0 n q  , với q là số thực thỏa mãn q 1. Giới hạn hữu hạn của dãy số Dãy số un  có giới hạn hữu hạn là số a ( hay n u dần tới a) khi ndần tiến tới dương vô cực, nếu lim  0. n u  a  Khi đó, ta viết lim . n n n n u a hay lim u a hay u a khi n       Chú ý: Nếu n u  c ( c là hằng số) thì lim un  limc  c . 2. Các phép toán về giới hạn hữu hạn của dãy số Cho n ,lim n lim u  a v = b và c là hằng số. Khi đó: limun  vn   a  b limun  vn   a  b lim .  . n c u  c a lim .  . n n u v  a b lim  0 n n u a b v b   Nếu 0, n n u n thì a 0 và lim u a       3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn Cấp số nhân vô hạn un  có công bội q thỏa mãn q 1được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. Cấp số nhân lùi vô hạn này có tổng là 1 1 2 ... ... 1 n u S u u u q        4. Giới hạn vô cực Ta nói dãy số un  có giới hạn là nếu n u lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu lim n n u   hay u   khi n +.
Ta nói dãy số un  có giới hạn là  khi n   nếu limun    , kí hiệu lim n n u   hay u   khi n + . Chú ý: Ta có các kết quả sau: a) lim n u   khi và chỉ khi limun    ; b Nếu lim n u   hoặc lim n u   thì 1 lim 0 n u  ; c) Nếu lim 0 0 n n u  và u  với mọi n thì 1 lim n u   . Nhận xét: )lim  , 1; k a n   k  k  )lim  1. n b q   q  C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA Bài 1. Tìm các giới hạn sau: a) 2 1 lim n n   ; b) 2 16 2 lim n n  ; c) 4 lim 2n 1 ; d) 2 2 2 3 lim 2 n n n   . Lời giải a)   2 1 1 1 lim lim 2 lim 2 lim 2 0 2 n n n n                    . b) 2 2 2 2 2 16 2 16 2 2 2 lim lim lim 16 lim16 lim 16 0 4 n n n n n n                 . c) 4 4 0 lim lim 0 2 1 1 2 0 2 n n n       . d) 2 2 2 2 2 3 1 1 3 1 1 3 1 1 lim lim lim lim lim 0 0 2 2 2 2 2 2 2 n n n n n n n                   . Bài 2. Tính tổng của các cấp số nhân lùi vô hạn sau: a) 1 1 1 1 2 4 8 2 n            ; b) 1 1 1 1 4 16 64 4 n           Lời giải
a) 1 1 1 1 1 1 2 2 4 8 2 1 3 1 2 n                       . b) 1 1 1 1 1 1 4 4 16 64 4 1 3 1 4 n             . Bài 3. Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,444 dưới dạng một phân số. Lời giải 4 0,444 9  Bài 4. Từ hình vuông đầu tiên có cạnh bằng 1 (đơn vị độ dải), nối các trung điểm của bốn cạnh để có hình vuông thứ hai. Tiếp tục nối các trung điểm của bốn cạnh của hình vuông thứ hai để được hình vuông thứ ba. Cứ tiếp tục làm như thế, nhận được một dãy hình vuông (xem Hình 5). a) Kí hiệu n a là diện tích của hình vuông thứ n và n S là tổng diện tịch của n hình vuông đầu tiên. Viết công thức tính an , Sn n 1,2,3, và tìm lim n S (giới hạn này nếu có được gọi là tổng diện tích của các hình vuông). b) Kí hiệu n p là chu vi của hình vuông thứ n và Qn là tổng chu vi của n hình vuông đầu tiên. Viết công thức tính n p và Qn n 1,2,3, và tìm lim Qn (giới hạn này nếu có được gọi là tổng chu vi của các hình vuông). Lời giải a) 1 1 2 n n a   2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 n n S         b) 1 1 4 ( 2) n n p   