Tiêu đề DẠNG 1. VẬN DỤNG QUAN HỆ GIỮA ĐƯỜNG VUÔNG GÓC VÀ ĐƯỜNG XIÊN. QUAN HỆ GIỮA ĐƯỜNG XIÊN VÀ HÌNH CHIẾU.doc ✅

Trang 2 Gọi H là hình chiếu của A trên đường thẳng xy H là điểm cố định và AH = a. Ta có: AMAH . Dấu ‘=” xảy ra MH Xét ABC vuông tại A có AM là đường cao nên 222.MBMCAMAHa : không đổi Dấu “=” xảy ra AMAHMH Vậy tích MB.MC đạt giá trị nhỏ nhất là a 2 MH Bài 3:Cho tam giác ABC vuông tại A. Một đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng: 222 119 AMANBC HƯỚNG DẪN GIẢI Kẻ AH vuông góc với d tại H. Gọi I là giao điểm của AG và BC nên I là trung điểm của BC. Ta có: 222 111 AMANAH Mà 2222 1119 2 3 AHAGBC AI     (vì AHAG ) Do đó 222 119 AMANBC . Dấu “=” xảy ra dAG Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Trên AB vả AC lần lượt lấy hai điểm M, N sao cho AM = AH = AN. Chứng minh rằng 1 2AMNABCSS
Trang 3 HƯỚNG DẪN GIẢI 211.1 22AMNAMAHANSAMANAH 1 . 2ABCSBCAH Gọi D là trung điểm của BC 2.2.BCADAH nên 22ABCSAH Từ (1) và (2) suy ra 1 2AMNABCSS Dấu “=” xảy ra AHADABC là tam giác vuông cân tại A. Bài 5:Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AD, gọi I là giao điểm các đường phân giác của tam giác ABD, J là giao điếm các đường phân giác của tam giác ADC, đường thẳng IJ cắt AB tại M và cắt AC tại N. Chứng minh rằng: a) Tam giác AMN vuông cân b) 1 2AMNABCSS HƯỚNG DẪN GIẢI a) Từ I và J hạ các đường vuông góc với các cạnh AB, AC, BC và AD (như hình vẽ) ,IPIQIFJHJKJE Ta chứng minh ;JGAEJKJEJHED nên JGJKADAKAGAD Do đó DALGAKAAQA . Nên AQAGAKALGQLK Gọi O là giao điểm của IL và IG NOIOJAM vuông cân tại A.
Trang 4 b) Từ câu a) suy ra AM = AN = AD 211 . 22AMNSAMANAD Gọi T là trung điểm của BC, ta có 21 .. 2ABCSBCADATADAD Suy ra: 1 2AMNABCSS Dấu “=” xảy ra ADATABC là tam giác vuông cân tại A Cách 1: Câu a. Gọi O là giao điểm của BI và CJ; P, Q là giao điểm của AI và AJ với BC Ta có:  1121;PABCAPACDACAPPAC (vì  ABCDAC ) CPA cân tại C  Phân giác CJ cũng là đường cao CJAPJQAP (1) Tương tự ABQ cân tại B  Phân giác BI cũng là đường cao BIAQIOAQ (2) Từ (l) và (2) suy ra AOMN mà AO là phân giác của góc  MAN . Do đó AMN vuông cân tại A Ta có:  1145MD do đó ta chứng minh được: ..AMIADIgcgAMADAN