Tiêu đề Chuyên đề 9. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN.doc ✅

Chuyên đề 9. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN A. Kiến thức cần nhớ 1. Bảng tóm tắt Vị trí tương đối của hai đường tròn (;) (';)ORvaøOR Hệ thức giữa ' 'dOOvôùiRvaøR Hai đường tròn cắt nhau ''RRdRR Hai đường tròn tiếp xúc nhau: - Tiếp xúc ngoài; - Tiếp xúc trong. 'dRR '0dRR Hai đường tròn không giao nhau: - Ngoài nhau; - Đựng nhau. 'dRR 'dRR 2. Tính chất đường nối tâm Đường nối tâm là trục đối xứng của hình gồm cả hai hình tròn. - Nếu hai đường tròn cắt nhau thì đường nối tâm là đường trung trực của dây chung (h.a); - Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm (h.b, h.c). B. Một số ví dụ Ví dụ 1. Cho đường thẳng xy cắt đường tròn (O) tại hai điểm A và B (xy không đi qua O). Trên dây AB lấy một điểm M. Vẽ đường tròn (I) đi qua M và tiếp xúc với đường tròn (O) tại A. Vẽ đường tròn (K) đi qua M và tiếp xúc với đường tròn (O) tại B. Chứng minh rằng: (a) Hai đường tròn (I) và (K) cắt nhau; (b) Bán kính của đường tròn (O) bằng tổng bán kính của hai đường tròn (I) và (K). Giải *Tìm cách giải Để chứng minh hai đường tròn cắt nhau ta chứng minh đoạn nối tâm lớn hơn hiệu hai bán kính nhưng nhỏ hơn tổng hai bán kính. *Trình bày lời giải (a) Đường tròn (I) tiếp xúc với đường tròn (O) tại A. Suy ra ba điểm O, I, A thẳng hàng. Tương tự ba điểm O, K, B thẳng hàng. Các tam giác IAM, KBM và OAB là những tam giác cân. Suy ra  IAMIMAKMBKBM Do đó ,∥∥OAKMOBIM Vậy tứ giác OKMI là hình bình hành, dẫn tới ,OIKMOKIM . Gọi R, R 1 , R 2 lần lượt là bán kính của đường tròn (O), (I) và (K). Xét 1212 OIKcoùOIOKIKOIOKhayRRIKRR Do đó đường tròn (I) và (K) cắt nhau. (b) Ta có OBOKKBIMKB . Suy ra 12RRR Ví dụ 2. Cho hình vuông ABCD. Vẽ cung tròn (;)AAB cắt nửa đường tròn (O) đường kính CD tại M. Tia CM cắt AB tại N. Chứng minh rằng N là trung điểm của AB.
Giải Vẽ dây cung DM cắt OA tại H. Theo tính chất dây chung ta có HDHM . Xét MDC có OH là đường trung bình Suy ra ∥∥OHCMhayOACN Mặt khác, ∥ANOC nên tứ giác ANCO là hình bình hành. Suy ra 11 22ANOCCDAB . Do đó N là trung điểm của AB. Nhận xét: Việc vẽ dây chung DM là để vận dụng tính chất dây chung của hai đường tròn từ đó chứng minh ∥OACN . Ta cũng có thể vận dụng tính chất dây chung theo cách khác: 0 , ( 90)OADMCMDMvìCMD từ đó suy ra ∥OACN . Ví dụ 3. Cho hình bình hành ABCD, hai đường chéo cắt nhau tại M. Vẽ các đường tròn ngoại tiếp tam giác AMD và tam giác CMB. Chứng minh rằng hai đường tròn này tiếp xúc với nhau. Giải *Tìm cách giải Để chứng minh hai đường tròn tiếp xúc ngoài ta chứng minh đoạn nối tâm bằng tổng hai bán kính. *Trình bày lời giải Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMD và O’ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CMB. (..)ADMCBMccc suy ra các đường tròn ngoại tiếp hai tam giác này cũng có bán kính bằng nhau. Do đó AMOCMO' (c.c.c). Suy ra AMOCMO' , dẫn tới ba điểm O, M, O’ thẳng hàng. Ta có OO'OMO'M , do đó dRR' Suy ra hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài. Ví dụ 4. Cho góc vuông xOy. Một đường tròn có bán kính R không đổi và tâm I di động trên tia Ox sao cho OIR . Vẽ đường tròn tâm K bán kính KO với K thuộc Oy sao cho hai đường tròn (I) và (K) tiếp xúc ngoài với nhau. (a) Gọi A là tiếp điểm của hai đường tròn. Chứng minh rằng tiếp tuyến chung của hai đường tròn tại A luôn đi qua một điểm cố định. (b) Đặt OId . Xác định giá trị của d để bán kính của đường tròn (K) bằng 3 2 bán kính của đường tròn (I). Giải *Tìm cách giải Vì các tia Ox, Oy cố định nên muốn chứng minh tiếp tuyến chung tại A luôn đi qua một điểm cố định, ta chứng minh tia này cắt một trong hai tia Ox, Oy tại một điểm cách O một khoảng không đổi. *Trình bày lời giải (a) Hai đường tròn (I) và (K) tiếp xúc ngoài tại A nên ba điểm I, A, K thẳng hàng. Tiếp tuyến chung tại A cắt tia Ox tại B, cắt tia đối của tia Oy tại C. 0 90OBC vaø ABI coù OA;  OBAB;OBCABI Do đó OBCABI (g.c.g) Suy ra OCAIR (không đổi). Vậy tiếp tuyến chung tại A đi qua một điểm cố định là điểm C. (a) Gọi bán kính của đường tròn (K) là x. Ta có KIxR Xét KOI vuông tại O, có:
22 222222dR KIOKOI(xR)xdx 2R   Vậy 22 222223dR3 xRRdR3Rd4Rd2R 22R2   C. Bài tập vận dụng  Hai đường tròn cắt nhau hoặc không giao nhau 1.1. Cho đường tròn (O; 5cm) và đường tròn (O'; 2cm);OO'9cm . Vẽ tiếp tuyến chung ngoài tiếp xúc với đường tròn (O) tại A, tiếp xúc với đường tròn (O’) tại B. Vẽ tiếp tuyến chung trong tiếp xúc với đường tròn (O) và (O’) lần lượt tại C và D. Chứng minh rằng: a) Hai đường tròn (O) và (O’) không giao nhau; b) 2 CDAB 3 . Giải a) Ta có OO'9cm,OAO'B527cm. Vậy dRR' Do đó hai đường tròn (O) và (O’) không giao nhau. b) Vẽ O'HOA,O'KOC Ta có OHOAHA523(cm) OKOCCK527(cm) Xét HO'O có 22222O'HOO'OH9372O'H62(cm). Do đó ABO'H62(cm) Ta có 22222O'KOO'OK9732O'K42(cm). Do đó CD42(cm) Vậy CD422 AB362 , suy ra CD2 AB AB3 1.2. Cho đường tròn (D) và hai điểm P, Q nằm trong đường tròn đó. Chứng minh rằng tồn tại một đường tròn nằm trong đường tròn (O) và đi qua P, Q. Giải Giả sử OPOQ . Vẽ đường trung trực của PQ cắt OP tại K. Vẽ đường tròn (K;KP) thì đường tròn này nằm trong đường tròn (O) và đi qua hai điểm P, Q. Thật vậy, ta có KPKQ nên đường tròn (K;KP) đi qua P và Q. Gọi M là giao điểm của tia OP với đường tròn (O). Ta có OKOMKMOM(KPPM)OMKPPM Suy ra OKOMKP hay dRr Do đó đường tròn (K) nằm trong đường tròn (O). 1.3. Cho ba đường tròn (O 1 ), (O 2 ), (O 3 ) đôi một ngoài nhau. Biết các tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn (O 1 ) và (O 2 ) cắt nhau tại C, các tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn (O 1 ) và (O 3 ) cắt nhau tại B, các tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn (O 2 ) và (O 3 ) cắt nhau tại A. Chứng minh rằng ba điểm A, B, C thẳng hàng.
Giải Gọi bán kính của các đường tròn có tâm O 1 , O 2 , O 3 lần lượt là R 1 , R 2 , R 3 Gọi M, N lần lượt là tiếp điểm của tiếp tuyến tại C với đường tròn (O 2 ) và (O 1 ) Ba điểm C, O 2 , O 1 thẳng hàng (vì cùng nằm trên tia phân giác của góc C) Dễ thấy 21OM//ON . Suy ra 111 222 COONR COOMR Tương tự ta có 3322 3311 BORAOR ; AORBOR Do đó 331212 231231 BORCOAORR ....1 COAOBORRR Áp dụng định lí Menelauyt vào 123OOO ta được ba điểm A, B, C thẳng hàng. 1.4. Tính độ dài nhỏ nhất của một cạnh hình vuông sao cho trong hình vuông đó có thể đặt 5 miếng bìa hình tròn có bán kính I và không chồng lên nhau. Giải Gọi a là cạnh hình vuông ABCD thỏa mãn đề bài. Dễ thấy a2 Gọi A’B’C’D’ là hình vuong nằm bên trong hình vuông ABCD sao cho các cạnh của hình vuông A’B’C’D’ nằm cách các cạnh của hình vuông ABCD là 1 đơn vị. Suy ra độ dài mỗi cạnh của hình vuông A’B’C’D’ là a2 . Chia hình vuông này thành bốn hình vuông nhỏ bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng a 1 2 . Giả sử cả năm tấm bìa hình tròn có bán kính 1 đều nằm trong hình vuông A’B’C’D’. Suy ra tâm của năm tấm bìa buộc phải nằm trong hình vuông A’B’C’D’ (hoặc cùng lắm là nằm trên cạnh hình vuông A’B’C’D’). Theo nguyên lí Đi-ric-lê, phải có ít nhất hai tâm của hai tấm bìa nằm trong cùng một hình vuông nhỏ mỗi cạnh là a 1 2 . Như vậy khoảng cách d giữa hai tâm của chúng không vượt quá độ dài đường chéo của mỗi hình vuông nhỏ, tức là không vượt quá a 21 2     . Mặt khác, khoảng cách nhỏ nhất giữa hai tâm của hai tấm bìa này là 2 nên a 212a222 2     Vậy độ dài nhỏ nhất của cạnh hình vuông ABCD là 222 1.5. Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng d không giao nhau. Gọi M là một điểm tùy ý trên d. Vẽ đường tròn đường kính OM cắt đường tròn (O) tại A và B. Chứng minh rằng đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định.