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UNIVERSITE CADI AYYAD Année universitaire 2020-2021 FACULTE DES SCIENCES SEMLALIA DEPARTEMENT DE PHYSIQUE MARRAKECH TD N°1 d’électricité III Filière SMP Exercice 1 Soit une distribution de charges ponctuelles qi, placés aux points Ai situés autour du point O. On pose i OAi a  et OA ,OM i  i . 1- Calculer le potentiel V(M) en un point M éloigné de O, à la distance OM=r sous la forme d’un développement en r 1 , limité aux trois premiers termes. 2- Ecrire les conditions pour que la distribution se ramène à une charge unipolaire, à un dipôle ou à un quadripôle. 3- Applications: Exemple 1 : Dans un plan (xOy), on considère la distribution de charges suivante : Sur Ox : +q aux points A et C d’abscisse respectivement +a et –a. Sur Oy : q au point B et –q au point D d’abscisse respectivement +a et –a. a- A quel type de distribution se ramène cette répartition. b- Déterminer le potentiel V(r,) en un point M éloigné de O de coordonnés polaires (r,). En déduire le champ électriqueEr,  . Exemple 2: On considère la distribution de charges suivante : Sur Ox : +q aux points A et C d’abscisse respectivement +a et –a. Sur Oy : -q aux points B et D d’abscisse respectivement +a et –a. Mêmes questions que dans l’exemple 1. Exercice 2 Soit trois charges ponctuelles disposées sur l’axe x’Ox ; une charge q aux points d’abscisse a et –a et une charge -2q à l’origine O. 1- Rappeler l’expression du potentiel V dans le cas d’une distribution de charges. 2- Calculer : a- le potentiel électrostatique V créé par les trois charges en un point P de coordonnés polaires r et θ. b- le champ électrique Er,  . Exercice 3 On considère deux dipôles électriques 1 p  et 2 p  distant de r. 1- Rappeler : a- l’expression du potentiel électrostatique V créé par un dipôle électrique p  . b- l’expression du champ électrostatiqueEr,  créé par le dipôle électrique p  . c- l’énergie électrostatique du dipôle électrique p  placé dans un champ électrique. 2- Pour les différentes orientations possibles de 1 p  et 2 p  donner l’énergie d’interaction correspondante. Comment varie le module des forces d’interaction ? 3- Dans le cas de la molécule d’eau les deux liaisons H-O de moment électrique p=3,9 10-30 C.m font un angle de 105°. Calculer l’énergie d’interaction de deux molécules d’eau distantes de 3,1 A et dont les moments électriques sont colinéaires et de mêmes sens. Exercice 4 Partie A : Soit un diélectrique LHI (constitué de molécules polaires neutres), de permittivité absolue , sphérique, creux de centre O et de rayons intérieur a et extérieur b.

Solution du TD N°1 d’électricité III Semestre S4 (2021) Exercice 1: 1/ On considère charges ponctuelles placées en des points notés Ai . En un point de l’espace (avec i i r A M    pour tout ), le champ électrique et le potentiel électrique créés par cette distribution de charges s’écrivent selon le principe de superposition comme suit :     i i i 3 0 i i i 0 i 1 q E M r 4 r 1 q V M 4 r                  Le développement limité à l’ordre 2 de ir 1 s’écrit :             2 2 2 2 cos (3cos 1) 1 1 1 r a r a r r i i i i i   On en déduit que le potentiel électrostatique de la distribution de charge est de la forme : 3 0 2 2 2 0 1 0 8 (3cos 1) 4 cos 4 ( ) r q a r q a r q V M i i i i i i i i i i              2/ Si 0 1     N i Q qi ,   r Q V M 0 4  Potentiel électrostatique créé par une charge Q placée en O. Si 0 1     N i Q qi et 0 1        N i p qi ai ,   3 0 2 0 1 2 0 1 4 4 4 cos r pr r q a r r q a V M N i i i N i i i i                Potentiel électrostatique créé par le dipôle p  placé en O. Si 0 1     N i Q qi , 0 1       N i p qi ai et (3cos 1) 0 1 2 2      N i i i i q a ,   3 0 1 2 2 8 (3cos 1) r q a V M N i i i i      Potentiel électrostatique créé en M par un quadripôle placé en O. 3/ Applications : Exemple 1 : Q q q N i i 2 1     ;   r q V M 4 0 2   et   3 4 0 2 r q r E M     Exemple 2 : a- On a 0 1     N i Q qi , 0 1       N i p qi ai   1) 6 cos  2 0 2 (3cos 1) (3cos 1) 2 (3cos 1) (3cos 1) (3cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2                                      q a qa q a q a q a q a D A B C N i i i i La distribution de charge est quadripolaire.
b-     3 0 2 3 0 1 2 2 4 3 cos 2 8 (3cos 1) r qa r q a V M N i i i i          et                 e r qa e r qa e V r e r V E r grad V r r      4 0 2 4 0 2 4 6 sin 2 4 1 9 cos 2 ,             . Exercice 2 1- 3 0 2 2 2 0 1 0 8 3 1 4 4 r q a ( cos ) r q a cos r q V( M ) i i i i i i i i i i              2- a- On a :  0 1     N i Q qi ,  2 0 0 1               p q a q qai qai N i i i  3 1 3 1 3   1 2 3 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2                q a ( cos ) qa cos qa cos qa cos N i i i i la distribution de charge est quadripolaire.     3 0 2 2 3 0 1 2 2 4 3 1 8 3 1 r qa cos r q a ( cos ) V M N i i i i           b-                             e r qa sin e r qa cos e V r e r V E r, grad V r r      4 0 2 4 0 2 2 4 3 2 4 1 3 3 1 Exercice 3 1-a   3 4 0 r p r V M      b-              e e r qa e V r e r V E r grad V r r      2cos sin 4 1 , 3 0             Or      p p e e r     cos  sin d’où       p e e p r cos e sin e r p E r, r r r                   3 4 1 2 4 3 0 3 0 c- W -p E     Dans le système constitué par les deux dipôles, chacun est placé dans le champ électrostatique de l’autre. On a : 2 2 E1 W -p     où   1 1 r r p1 p e e r E          3 4 1 3 0 est le champ électrostatique créé par p1  D’où       1 r 2 r p1 p2 p e p e r W              3 4 1 3 0 2- a       1 r 2 r p1 p2 p e p e r W              3 4 1 3 0 expression quelconque.