Tiêu đề Chương 3. Các bài toán cực trị về đường tròn.doc ✅

Chương 3: Các bài toán cực trị về đường tròn 3.1 Giản lược kiến thức cơ bản 1. Trong một đường tròn: a. Đường kính là dây lớn nhất của đường tròn. b. Trong hai dây không bằng nhau, dây nào lớn hơn thì có khoảng cách từ tâm tới dây đó nhỏ hơn và ngược lại. c. Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm và ngược lại. d. Trong hai cung nhỏ của một đường tròn, cung lớn hơn khi và chỉ khi góc ở tâm lớn hơn. e. Trong hai cung nhỏ của một đường tròn, cung lớn hơn khi và chỉ khi dây trương cung lớn hơn. 2. Vị trí tương đối của hai đường tròn phân biệt: Cho hai đường tròn (O; R) và ;Or , kí hiệu .dOO Giả sử Rr a. Hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm .RrdRr b. Hai đường tròn tiếp xúc ngoài nhau .dRr c. Hai đường tròn tiếp xúc trong nhau .dRr d. Hai đường tròn không có điểm chung, ở ngoài nhau .dRr e. Hai đường tròn không có điểm chung, đựng nhau .dRr 3. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, trung tuyến AM. Ta có hệ thức: 2 222 2 2BC ABACAM Thật vậy, vẽ đường cao AH, ta có 222222 ;ABAHHBACAHCH Do đó 22222 2AHAHBACHCB 222222222222 2AMHMBMHMCMHMABC ABMBACAAC 3.2. Bài tập vận dụng Bài 1: Cho đoạn thẳng ABa (độ dài không đổi cho trước). Xét tất cả các đường tròn đi qua hai điểm A, B. Hãy tìm đường tròn có bán kính R nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó theo a. Hướng dẫn Cách 1: Xét một đường tròn (O;R) đi qua A, B. Vẽ đường kính AC. Ta có 2.ABACR min. 22aa RR Dấu = xảy ra  C trùng B. Khi đó đường tròn có bán kính nhỏ nhất là đường tròn nhận AB là đường kính: . 2a R Cách 2: Gọi H là hình chiếu của điểm O trên đoạn AB. Đặt OHx thì 2.BCx Ta có 2222224ACABBCaax min0 22aa ACaRRx Khi đó O là trung điểm AB. Bài 2: Cho đường tròn tâm O, bán kính R và một điểm M nằm ngoài đường tròn, = OMa (không đổi). Đường thẳng d bất kì đi qua M, cắt (O; R) tại hai điểm phân biệt A, B (A nằm giữa B và M). Xác định vị trí của đường thẳng d sao cho độ dài MA là ngắn nhất và độ dài MB là lớn nhất. Tính giá trị nhỏ nhất và lớn nhất đó theo R và a.


Suy ra C, B, D thẳng hàng và AB vuông góc với CD. Tam giác vuông ABC có 222224BCACABRa 22 4RaBC Tương tự, tam giác vuông ABD có 224RBDa 2222 44CDCBBDRaRa b) Ta có tứ giác CDNM là hình thang vuông tại M và N, do đó MNCD (không đổi) min//.MNCDMNCD Khi đó 222244minRaRNaM Bài 8: Cho đường tròn (O;R) và một điểm I cố định, sao cho . 2 R OI Một dây cung AB quay xung quanh điểm I. Vẽ đường kính CD đi qua O, I theo thứ tự C, O, I, D. a) Xác định vị trí điểm A để độ dài đoạn thẳng AI lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó theo R. Xác định vị trí điểm B để độ dài đoạn thẳng BI nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó theo R. b) Vẽ dây EF vuông góc với CD. Xác định vị trí của A, B để dây AB có độ dài ngắn nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó theo R. Hướng dẫn a) Khi A trùng với C, đoạn AI có độ dài lớn nhất bằng 3 . 2 R Với lưu ý: 2 R IBBOOI nên IB có độ dài ngắn nhất khi B trùng với D và khi đó . 2 R IB b) Vẽ .OHAB AB ngắn nhất khi A trùng E , B trùng F. Bài 9: Cho đường tròn tâm O, bán kính R và điểm M cố định ngoài đường tròn. Một đường thẳng d xoay quanh điểm M cắt đường tròn tại hai điểm C và D (theo thứ tự M, C, D). Xác định vị trí của đường thẳng d để tổng các khoảng cách SMCMD có giá trị lớn nhất. Hướng dẫn Gọi H là hình chiếu của điểm O trên CD. Ta có 2 MCMDMHHCMHHD MCMDMH   Ta có MHMO 2MCMDMO (không đổi) 2maxMCMDMO  đường thẳng d đi qua hai điểm M và O (lúc đó C trùng A và D trùng B). Bài 10: Cho đường tròn tâm O, bán kính R cố định. Các đường tròn (O 1 ;R 1 ), (O 2 ;R 2 ) thay đổi sao cho ba đường tròn (O;R), (O 1 ;R 1 ), (O 2 ;R 2 ) tiếp xúc ngoài nhau từng đôi một và cùng tiếp xúc với đường thẳng d. Trong đó R là độ dài bé nhất trong các độ dài R, R 1 , R 2 . Gọi A, B, C lần lượt là các tiếp điểm của (O 1 ), (O), (O 2 ) với đường thẳng d. a) Tính độ dài các đoạn thẳng AB, BC theo R, R 1 , R 2 . b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 12PRR theo R. Hướng dẫn