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An ́alise Matem ́atica. Curso 2022-2023. Grao en Enxener ́ıa Inform ́atica. ESEI Ourense. Departamento de Matem ́aticas. Universidade de Vigo. Data: 10/11/2022 Bloque II APELIDOS NOME DNI NOTA 1. Consid ́erese a funci ́on f : [−5, 5] → R definida como f(x) = 3x + 4 1 + x 2 . a) Encontrar os intervalos de crecemento e decrecemento de f. Solucion: ́ Analizamos o signo da s ́ua derivada f 0 (x) = 3(1 + x 2 ) − (3x + 4)2x (1 + x 2) 2 = 3 + 3x 2 − 6x 2 − 8x (1 + x 2) 2 = −3x 2 − 8x + 3 (1 + x 2) 2 calculando onde se anula f 0 (x) = 0 ⇐⇒ −3x 2 − 8x + 3 = 0 ⇐⇒ x = −3, x = 1 3 e substitu ́ındo valores nos intervalos que se forman: f 0 (−4) < 0 =⇒ f 0 (x) < 0 para todo x ∈ (−5, −3) =⇒ f ́e decrecente en (−5, −3), f 0 (0) > 0 =⇒ f 0 (x) > 0 para todo x ∈ −3, 1 3 =⇒ f ́e crecente en −3, 1 3 , f 0 (1) < 0 =⇒ f 0 (x) < 0 para todo x ∈ 1 3 , 5 =⇒ f ́e decrecente en 1 3 , 5 , b) Clasificar todos os extremos relativos de f en [−5, 5]. Do estudo anterior sobre os intervalos de crecemento e decrecemento podemos concluir que f alcanza m ́aximos relativos en x = −5 e x = 1 3 e m ́ınimos relativos en x = −3 e x = 5. Ademais o Teorema de Weierstrass garantiza que a funci ́on f, que ́e continua por ser cociente de continuas con denominador distinto de cero, alcanza o seu m ́aximo e m ́ınimo absolutos no intervalo pechado e acotado [−5, 5]. Evaluando a funci ́on nos extremos relativos f(−5) = − 11 26 , f(−3) = − 1 2 , f(1/3) = 9 2 , f(5) = 19 26 , concluimos que f alcanza o seu m ́ınimo absoluto en x = −3 e o seu m ́aximo absoluto en x = 1/3. 1