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R O Y A U M E DU M A R O C Royaume du MAROC Ministère de l’Education Nationale du Préscolaire et des Sports Lycée Ibn toufail Oued-zem Baccalauréat Sciences Expérimentales Option : Sciences physiques Normalise Session MAI 2025 DURÉE DE L’ÉPREUVE : 3 heures NOTES DE L’ÉPREUVE : 20 POINTS CONSIGNES : — L’épreuve contient 4 exercices et un problème . — les exercices peuvent être traités selon l’ordre choisi par l’élève. — L’usage de la calculatrice non programmable est autorisé. — L’usage de la couleur rouge n’est pas autorisé . — Toute réponse non justifiée ne sera pas prise en compte. — Vous êtes invités à porter une attention particulière à la rédaction. — La référence des questions doit obligatoirement être mentionnée. — Certaines notations sont utilisées dans différents exercices, toutefois chaque no- tation ne concerne que l’exercice où elle est utilisée et ne dépend ni des exercices précédents ni des exercices suivants. Ce sujet contient 4 exercices et un problème : • Exercice 1 : Géométrie dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3,00 points • Exercice 2 : Suites numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3,00 points • Exercice 3 : Nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3,50 points • Exercice 4 : Calcul de probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2,50 points • Problème : Étude de fonction, calcul intégral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8,00 points Réalisé par : Prof. Bouazza LOUKILIA Page 1/25
Prof : Bouazza LOUKILIA 2/4 2 BACSX Exercice 1: (3,00 points) Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé (O; −→ı ; −→ȷ ; −→k ), on considère les points A(0; 3; 1), B(−1; 3; 0), C(0; 5; 0) et D(2; −1; −2). 1 - a) Montrer que −−→AB ∧ −→AC = 2−→i − −→j − 2 −→k et en déduire que les points A, B, C ne sont 0.5 pt pas alignés. 0.25 pt b) Montrer que 2x − y − 2z + 5 = 0 est une équation cartésienne du plan (ABC). 0.25 pt 2 - a) Montrer qu’une représentation paramétrique de la droite (OD) est :    x = 2t y = −t (t ∈ R) z = −2t 0.25 pt b) Déterminer une équation cartésienne du plan (P) orthogonal à (OD) en D. 0.25 pt c) Vérifier que (ABC) est parallèle à (P). 3 - On considère la sphère (S) tangente au plan (P) et qui coupe (ABC) suivant le cercle Γ de centre O et de rayon r = 3√ 3. 0.5 pt a) Montrer que Ω(a, b, c) centre de (S) appartient à (OD),puis en déduire que a = −2b et c = 2b. b) Démontrer que ΩD2 − ΩO 2 0.5 pt = 27 et que 2a − b − 2c = −9. 0.5 pt c) En déduire les coordonnées de Ω, puis montrer que le rayon de (S) est égal à 6. Exercice 2: (3,00 points) On considère la suite (un)n≥1 définie par u1 = √ 2 2 et un+1 = 2 2 √ 2 − un pour n ∈ N ∗ . 1 - a) Montrer par récurrence que un < √ 0.5 pt 2 pour tout n. b) Montrer que un+1 − un = (un − √ 2)2 2 √ 2 − un 0.25 pt , en déduire la monotonie. 0.25 pt c) En déduire que (un) est convergente. 2 - On pose vn = un √ 2 − un , pour tout n de N∗ . 0.5 pt a) Montrer que (vn) est une suite arithmétique. b) Exprimer vn en fonction de n, puis en déduire que : un = √ 2 · n n + 1 0.5 pt . c) Calculer limn→∞ 0.25 pt un. (Justifier votre réponse ) 3 - Soit (wn)n≥1 la suite numérique définie par : wn = ln(un) pour tout n de N∗ . Déterminer limn→∞ 0.25 pt wn.(Justifier votre réponse) 4 - On pose Sn = Xn k=1 wk. a) Montrer que : Sn = n 2 0.25 pt ln(2) − ln(n + 1). 0.25 pt b) En déduire que (Sn) est divergente. Normalisé Session Mai 2025 2/4 Année scolaire : 2024/2025 Page 2/25
Prof : Bouazza LOUKILIA 3/4 2 BACSX Exercice 3: (3,50 points) 1 - a) On considère dans C l’équation (E) : z 2 + z + 1 = 0. 0.5 pt Montrer que ∆ = −3 puis donner les solutions dans C avec Im(z1) > 0. b) En déduire les solutions de l’équation (F) : z 3 0.25 pt − 1 = 0. 2 - Dans le plan (P) rapporté à un repère orthonormé direct (O, −→u , −→v ). On considère les points A , B et C d’affixes respectifs a = j, b = ̄j, c = 1 avec j = − 1 2 + i √ 3 2 . a) Écrire le nombre complexe a sous forme trigonométrique, puis déduire que : a 2025 0.5 pt = c. b) Montrer que a 2 = b, a + b + c = 0, et 2024 X k=0 a k 0.5 pt = 0. 3 - a) Écrire c − b c − a 0.5 pt sous forme trigonométrique puis déduire que le triangle ABC est équilatéral. 0.25 pt b) Montrer que O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC. 0.25 pt 4 - a) Déterminer l’affixe ω du point Ω milieu de [AB] b) Soit R la rotation de centre Ω et angle π 0.25 pt Montrer que l’affixe du point D l’image du point C par la rotation R est d = −2. 0.5 pt c) Vérifier que a − c = d − b, en déduire que ADBC est un losange. Exercice 4: (2,50 points) Une urne U1 contient 5 boules indiscernables au toucher : 1 Boule rouge et 4 boules noires. Une urne U2 contient 5 boules indiscernables au toucher : 2 Boule rouge et 3 boules noires. Une urne U3 contient 5 boules indiscernables au toucher : 3 Boule rouge et 2 boules noires. On considère l’expérience suivante : On choisit une urne parmi les trois urnes précédentes puis on en tire simultanément deux boules. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de boules rouges tirées. 0.25 pt 1 - Déterminer les valeurs possibles de la variable aléatoire X. 2 - a) Montrer que P(X = 2) = 2 15 0.5 pt . b) Montrer que P(X = 1) = 8 15 0.5 pt . 0.75 pt c) En déduire la loi de X et calculer E(X). 0.5 pt 3 - Sachant que deux boules rouges sont tirées, quelle est la probabilité qu’elles viennent de U3 ? Normalisé Session Mai 2025 3/4 Année scolaire : 2024/2025 Page 3/25