Tiêu đề Chuyên đề 1. CĂN BẬC HAI, CĂN THỨC BẬC HAI.doc ✅

Chương 1. CĂN BẬC HAI. CĂN BẬC BA Chuyên đề 1. CĂN BẬC HAI, CĂN THỨC BẬC HAI A. Kiến thức cần nhớ 1. Căn bậc hai số học  Căn bậc hai số học của số thực a không âm là số không âm x mà 2xa .  Với 0a 22 0x xa xaa       Phép toán tìm căn bậc hai số học của một số gọi là phép khai phương. Với hai số a, b không âm, thì ta có: abab . 2. Căn thức bậc hai  Cho A là một biểu thức đại số, người ta gọi A là căn thức bậc hai của A, còn A được gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn.  0A xác định (hay có nghĩa) khi 0A .  Hằng đẳng thức 2AA . 3. Chú ý  Với 0a thì: 2 xaxa 2 xaxa .  0 0AhayB AB AB      00ABAB . B. Một số ví dụ Ví dụ 1: So sánh các cặp số sau mà không dùng máy tính. a) 10 và 3; b) 32 và 17 ; c) 35151 và 123 ; d) 22 và 2. Giải Tìm cách giải. Khi so sánh hai số a và b không dùng số máy tính, ta có thể:  So sánh a và b  So sánh 2a và 2b  Sử dụng kĩ thuật làm trội. Trình bày lời giải a) Ta có 109109 nên 103 . b) Xét 2222323.218;1717 vì 1817 nên 2232173217 c) 351513616164111 , 12312111 suy ra 35151123 . d) Ta có 2422242242 . Ví dụ 2: Tìm điều kiện để các biểu thức sau có nghĩa: a) 82x ; b) 111xx ; c) 23 9 x x x  .
Giải Tìm cách giải. Để tìm điều kiện biểu thức có ý nghĩa, bạn lưu ý:  A có nghĩa khi 0A  A M có nghĩa khi 0M Trình bày lời giải a) 82x có nghĩa khi 8204xx . b) 111xx có nghĩa khi 10x và 110111xx . c) 23 9 x x x  có nghĩa khi 30x và 2 903;3xxx . Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức sau: a) 625625A ; b) 2121Baaa với 1a Giải Tìm cách giải. Để rút gọn biểu thức chứa dấu căn, bạn nhớ rằng: 2211aaa và lưu ý: ABAB AB BAAB     neáu neáu Trình bày lời giải a) Ta có 625625A 52515251A 225151A 51512A . b) 2121Baaa với 1a 211Baa 11112Baaaaa . Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: a) 232833Axx ; b) 28181Bxx ; c) 22222210282020Cxyxyxyyy . Giải a) Ta có: 2232833322253258Axxx . Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 8 khi 2x . b) Ta có: 22818142121Bxxx Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức B là 21 khi 4x . c) Ta có: 22222210282020Cxyxyxyyy 2219222012Cxyy 920122015C . Vậy giá trị nhỏ nhất của C là 2015. Khi 101 202 xyx yy     .
Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a) 2212361664Axxxx ; b) 222291945Bxxx . Giải Tìm cách giải. Thoáng nhìn biểu thức ta có thể bỏ căn và đưa về biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối. Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối, ta sử dụng:  ABBA và 0A  ABAB . Dấu bằng xảy ra khi .0AB . Trình bày lời giải a) Ta có: 22221236166468Axxxxxx 6868682Axxxxxx Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2 khi 680xx hay 68x . b) Ta có: 222291945Bxxx 291945Bxxx 2194592194501943Bxxxxx . Vậy giá trị nhỏ nhất của B là 1943 khi 219450xx và 90x tức là 9x . Ví dụ 6: Cho ,,abc là các số hữu tỉ thỏa mãn 2020abbcca . Chứng minh rằng biểu thức 22 2 20202020 2020 ab A c    là một số hữu tỉ. Giải  Ta có: 222020aaabbcca 220201aabac  Tương tự, ta có: 220202bbabc 220203ccacb Từ (1) ,(2), (3) suy ra  2abacbcba Aabab cacb    Aab . Vì a, b là các số hữu tỉ nên ab cũng là số hữu tỉ. Vậy A là một số hữu tỉ. Lưu ý: Các phép tính cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa của các số hữu tỉ có kết quả cũng là một số hữu tỉ. Ví dụ 7: Cho ,,abc là các số thực thỏa mãn 222ab Chứng minh rằng: 42428861abba Giải Tìm cách giải. Quan sát phần kết luận cũng như giả thiết. Định hướng chung khi nghĩ tới là chúng ta biến đổi phần trong căn thức ở phần kết luận thành dạng bình phương. Với suy nghĩ ấy, cũng như khai thác phần giả thiết. Chúng ta có hai hướng suy luận: Hướng thứ nhất. Dùng thừa số 2 trong mỗi căn để cân bằng bậc. Hướng thứ hai. Từ giả thiết suy ra: 22222;2baab , dùng phương pháp thế, để mỗi căn thức chỉ còn một biến. Trình bày lời giải Cách 1. Thay 222ab vào (1) ta có:
Vế trái: 4222422244ababbaab 42224224 4444aabbbaba 22222222222222abbaabba 2233.26ab . Vế trái bằng vế phải. Suy ra điều phải chứng minh. Cách 2. Từ giả thiết suy ra: 22222;2baab thay vào (1) ta được: 22424222828244aabbab 22 44ab (do 22 4;4ab ) 22 446ab . Vế trái bằng vế phải. Suy ra điều phải chứng minh. Ví dụ 8: Tính tổng: 222 222222 8.118.218.10031 11...1 1.33.52005.2007S  (Thi Olympic Toán học, Hy Lạp – năm 2007) Giải Ta có  22422 2222 22 8181168181 11 21214141 nnnnn nnnn     2 22 2 44111 1 41212122121 nn nnnnn      với 1n . Suy ra 2 22 81111 11* 221212121 n nnnn     Thay n lần lượt từ 1 đến 1003 vào đẳng thức (*) ta được: 111111111 11...1 213235220052007S    111003 100311003 220072007S    . C. Bài tập vận dụng 1.1. Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa: a) 2 5Ax ; b) 2 1 56 B xx   ; c) 1 21 C xx   ; d) 2 1 13 D x   ; e) 2 2Exx x . Hướng dẫn giải – đáp số a) Điều kiện để A có nghĩa là 2505xx . b) Điều kiện để biểu thức B có nghĩa là 25606106xxxxx và 1x cùng dấu Trường hợp 1. 606 1 101 xx x xx     Trường hợp 2. 606 6 101 xx x xx    