Tiêu đề Chương 4_Bài 11_Nguyên Hàm_Toán 12_KNTT_Lời Giải_Phần 1.doc ✅

CHƯƠNG IV: NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN BÀI 11. NGUYÊN HÀM A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I. NGUYÊN HÀM CỦA 1 HÀM SỐ Cho hàm số ()fx xác định trên một khoảng K (hoặc một đoạn, hoặc một nửa khoảng). Hàm số ()Fx được gọi là một nguyên hàm của hàm số ()fx trên K nếu ()()Fxfx với mọi x thuộc K . Chú ý. Trường hợp ;Kab thì các đẳng thức ()()Fafa và ()()Fbfb được hiểu là đạo hàm bên phải tại điểm xa và đạo hàm bên trái tại điểm xb của hàm số ()Fx , tức là ()()()() lim() và lim() xaxb FxFaFxFb fafb xaxb    Ví dụ 1. Cho hàm số 2()2fxxx . Trong các hàm số cho dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số ()fx trên ℝ ? a) 3 2 () 3 x Fxx ; b) 3 2 () 3 x Gxx . Lời giải Ta có: 22()2,()2FxxxGxxx . Vì ()()Fxfx với mọi xℝ nên hàm số ()Fx là một nguyên hàm của ()fx trên ℝ . Hàm số ()Gx không là nguyên hàm của ()fx trên ℝ vì với 1x , ta có (1)31(1). Gf Định nghĩa Giả sử hàm số ()Fx là một nguyên hàm của ()fx trên K . Khi đó: a) Với mỗi hằng số C , hàm số ()FxC cũng là một nguyên hàm của ()fx trên K ; b) Nếu hàm số ()Gx là một nguyên hàm của ()fx trên K thì tồn tại một hằng số C sao cho ()()GxFxC với mọi xK . Như vậy, nếu ()Fx là một nguyên hàm của ()fx trên K thì mọi nguyên hàm của ()fx trên K đều có dạng ()FxC ( C là hằng số). Ta gọi ()()FxCCℝ là họ các nguyên hàm của ()fx trên K , kí hiệu bởi ()dfxx  . Chú ý: a) Để tìm họ các nguyên hàm (gọi tắt là tìm nguyên hàm) của hàm số ()fx trên K , ta chỉ cần tim một nguyên hàm ()Fx của ()fx trên K và khi đó ()d(),fxxFxCC  là hằng số. b) Người ta chứng minh được rằng, nếu hàm số ()fx liên tục trên khoảng K thì ()fx có nguyên hàm trên khoảng đó. c) Biểu thức ()dfxx gọi là vi phân của nguyên hàm ()Fx , kí hiệu là d()Fx . Vậy d()()d()dFxFxxfxx .
d) Khi tìm nguyên hàm của một hàm số mà không chỉ rõ tập K , ta hiểu là tìm nguyên hàm của hàm số đó trên tập xác định Ví dụ 2. Tìm một nguyên hàm của hàm số 2 ()fxx trên ℝ . Từ đó hãy tìm 2 dxx  . Lời giải Vì 32 23 33 xx x      nên 3 () 3 x Fx là một nguyên hàm của hàm số ()fx trên ℝ . Do đó, 3 2  d 3 x xxC  . 2. TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA NGUYÊN HÀM Nguyên hàm của tích một hàm số với một hằng số khác 0 ()d()d(0).kfxxkfxxk  Ví dụ 3. Sử dụng kết quả của Ví dụ 2, hãy tìm: a) 2 3 dxx  b) 23  d 2xx  Lời giải Ta có: a) 3 223 3 d3 d3 3 x xxxxCxC  . b) 3 2233331 22232 x xdxxdxCxC  . Nguyên hàm của một tổng dddfxgxxfxxgxx  dddfxgxxfxxgxx Ví dụ 4. Sử dụng kết quả của Luyện tập 3 và tính chất cơ bản của nguyên hàm, hãy tìm: a) 2xxdx ; b) 3243xxdx . Lời giải Ta có:
a) 3222 32 xx xxdxxdxxdxC  . b) 32324343d4 d3 dxxxxxxxxxC Ví dụ 5. Giải bài toán : Một máy bay di chuyển ra đến đường băng và bắt đầu chạy đà để cất cánh. Giả sử vận tốc của máy bay khi chạy đà được cho bởi ()53( m/s)vtt , với t là thời gian (tính bằng giây) kể từ khi máy bay bắt đầu chạy đà. Sau 30 giây thì máy bay cất cánh rời đường băng. Quãng đường máy bay đã di chuyển từ khi bắt đầu chạy đà đến khi rời đường băng là bao nhiêu mét? Lời giải Gọi ()(030)Stt là quãng đường máy bay di chuyển được sau t giây kể từ lúc bắt đầu chạy đà. Ta có ()()vtSt . Do đó, ()St là một nguyên hàm của hàm số vận tốc ()vt . Sử dụng tính chất của nguyên hàm ta được 23 S(t)=v(t)dt=(5+3t)dt=5dt+3tdt=5t+t+C. 2 Theo giả thiết, (0)0S nên 0C và ta được 23 ()5( m) 2Sttt . Máy bay rời đường băng khi 30t (giây) nên 23 (30)305301500( m) 2SS . Vậy quãng đường máy bay đã di chuyển từ khi bắt đầu chạy đà đến khi nó rời đường băng là 1500 mS . 3. NGUYÊN HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP a) Nguyên hàm của hàm số lũy thừa Hàm số luỹ thừa ()yxℝ có đạo hàm với mọi 0x và 1.xx 1 (1) 1 x xdxC        . 1  dln||xxC x  . Ví dụ 6. Tìm: a)  d(0)xxx  ; b) 3 1  dx x ; c) 23 2xdx x     . Lời giải a) 1 1 13 2 2222  d d 133 1 2 x xxxxCxCxxC    . b) 31 32 32 111  d d 3122 x xxxCxCC xx     . c) 22233312 2d2 d d2 d3 d6 3xxxxxxxxxxC xxx     .
b) Nguyên hàm của hàm số lượng giác cos dsin;xxxC  sin dcosxxxC 2 1  dtan; cosxxC x  21 dcot sinxxC x  Ví dụ 7. Tìm: a) (cossin)xxdx  b) 2 1 2cos cosxdx x     Lời giải a) (cossin)cossinsincosxxdxxdxxdxxxC  . b) 22 11 2cos2cos2sintan coscosxdxxdxdxxxC xx     . c) Nguyên hàm của hàm số mũ xx edxeC  (01) ln x xa adxCa a  Ví dụ 8. Tìm: a) 2xdx  ; b) 1  d 3xx  ; c) 25xxedx . Lời giải a) 2 2 ln2 x x dxC  . b) 1 1113 1333ln3 ln 3 x x xxdxdxCC       . c) 525d2 d5 d2 ln5 x xxxxx exexxeC  . Ta tổng kết lại bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp như sau. 0dxC  1 dxxC 1d1 1 x xxC        1 dlnxxC x   dxxexeC  d(01) ln x xa axCa a 