Tiêu đề Chương 3_Bài 1_Giới hạn dãy số_CD_Đề bài.pdf ✅

CHƯƠNG 3 : GIỚI HẠN. HÀM SỐ LIÊN TỤC BÀI 1: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ 1. Định nghĩa -Ta có định nghĩa dãy số có giới hạn 0 như sau: Dãy số un  có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực nếu n u có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu lim 0 n n u   . Chú ý: Ngoài kí hiệu lim 0 n n u   , ta cũng sử dụng các kí hiệu sau: lim 0 n u  hay 0 n u  khi n   Ta có: 1 lim 0 n  . Nhận xét: Nếu n u ngày càng gần tới 0 khi n ngày càng lớn thì lim 0 n u  . -Ta có định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn như sau: Dãy số un  có giới hạn hữu hạn là a khi n dần tới dương vô cực nếu lim   0 n n u a    , kí hiệu lim n n u a   Chú ý: Ngoài kí hiệu lim n n u a   , ta cũng sử dụng các kí hiệu sau: lim n u  a hay n u  a khi n   Chú ý: -Một dãy số có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất. -Không phải dãy số nào cũng có giới hạn, chẳng hạn như dãy số un  với ( 1) n n u   . 2. Một số giới hạn cơ bản Ta có thể chứng tỏ được các giới hạn sau: a) 1 1 lim 0;lim 0 k n n   với k là số nguyên dương cho trước; b) lim 0;lim 0 k c c n n   với c là hằng số, k là số nguyên dương cho trước; c) Nếu q 1 thì lim 0 n q  ; d) Dãy số un  với 1 1 n n u n         có giới hạn là một số vô tỉ và gọi giới hạn đó là e , 1 lim 1 n e n         Một giá trị gần đúng của e là 2,718281828459045. II. ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN Ta có định lí về giới hạn hữu hạn của một tổng, của một hiệu, của một tích, của một thương và của một căn thức như sau: a) Nếu lim n ,lim n u  a v  b thì:         lim ; lim . lim . ; lim 0, 0 . . n n n n n n n n nu v a b u v a b u v a b u a v b v b          
b) Nếu 0 n u  với mọi n và lim n u  a thì a  0 và lim n u  a . III. TỔNG CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN Trong trường hợp tổng quát, ta có: Cấp số nhân vô hạn 1 1 1 1 , , , , n u u q u q    có công bội q thoả mãn q 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn đã cho là: 2 1 1 1 1 1 u S u u q u q q      . IV. GIỚI HẠN VÔ CỰC -Ta có định nghĩa về dãy số có giới hạn vô cực như sau: Ta nói dãy số un  có giới hạn  khi n   , nếu n u có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu : lim n n u      hay lim n u   hay n u   khi n   . -Ta nói dãy số un  có giới hạn  khi n   nếu lim  n  n u       . Kí hiệu lim n n u      hay lim n u   hay n u   khi n   . Nhận xét lim k n   với k là số nguyên dương cho trước. lim n q   với q 1 là số thực cho trước. Nếu lim n u  a và lim n v   (hoặc limvn    thì lim 0 n n u v  . Nếu lim , 0 n u  a a  và lim 0, 0 n n v  v  với mọi n thì lim n n u v   . limun    limun    . B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA Bài 1. Cho hai dãy số un ,vn  với 2 1 2 3 ; 5 n n u v n n     . Tính các giới hạn sau: a) lim n ,lim n u v . b) lim ,lim ,lim . ,lim n n n n n n n n u u v u v u v v   Bài 2. Tính các giới hạn sau: a) 5 1 lim 2 n n  ; b) 2 2 6 8 1 lim 5 3 n n n    ; c) 2 5 3 lim 6 2 n n n    ; d) 1 lim 2 3 n        ; e) 3 2 lim 4.3 n n n  ; g) 1 2 lim 3 n n  .
Bài 3. a) Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn un  , với 1 2 1 , 3 4 u  q   . b) Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 1,6 dưới dạng phân số. Bài 4. Từ hình vuông có độ dài cạnh bằng 1 , người ta nối các trung điểm của cạnh hình vuông để tạo ra hình vuông mới như Hình 3. Tiếp tục quá trình này đến vô hạn. a) Tính diện tích n S của hình vuông được tạo thành ở bước thứ n ; b) Tính tổng diện tích của tất cả các hình vuông được tạo thành. Bài 5. Có 1 kg chất phóng xạ độc hại. Biết rằng, cứ sau một khoảng thời gian T  24000 năm thì một nửa số chất phóng xạ này bị phân rã thành chất khác không độc hại đối với sức khoẻ của con người ( T được gọi là chu kì bán rã). (Nguồn: Đại số và Giải tich 11, NXB GD Việt Nam, 2021) Gọi n u là khối lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kì thứ n . a) Tìm số hạng tổng quát n u của dãy số un  . b) Chứng minh rằng un  có giối hạn là 0 . c) Từ kết quả câu b), chứng tỏ rằng sau một số năm nào đó khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với con người, biết rằng chất phóng xạ này sẽ không độc hại nữa nếu khối lượng chất phóng xạ còn lại bé hơn 6 10 g  . Bài 6. Gọi C là nửa đường tròn đường kính AB  2R , C1 là đường gồm hai nửa đường tròn đường kính 2 , 2 AB C là đường gồm bốn nửa đường tròn đường kính , 4 AB  Cn là đường gồm 2 n nửa đường tròn đường kính , 2 n AB  (Hình 4). Gọi n p là độ dài của , Cn n S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi Cn và đoạn thẳng AB . a) Tính , n n p S . b) Tìm giối hạn của các dãy số  pn  và Sn .
C. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1. Giới hạn hữu tỉ 1. Phương pháp Để tính giới hạn của dãy số dạng phân thức, ta chia cà tử thức và mẫu thức cho luỹ thửa cao nhất của k n , với k là bậc cao nhất ở mẫu, rồi áp dụng các quy tắc tinh giới hạn. Chú ý : Cho P(n), Q(n) lần lượt là các đa thức bậc m, k theo biến n : ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 m k k k k k m m m m a n a a Q n b n b n b n P x a n b b a n - - - = + - + + + =/ = + + + + =/   Khi đó ( ) ( ) lim lim m m k k P n a n Q n b n = , viết tắt ( ) ( ) m m k k P n a n Q n b n  , ta có các trường hợp sau : Nếu « bậc tử » < « bậc mẫu ( m < k ) thì ( ) ( ) lim 0. P n Q n = Nếu « bậc tử » = « bậc mẫu ( m = k ) thì ( ) ( ) lim . m k P n a Q n b = Nếu « bậc tử » > « bậc mẫu ( m > k ) thì ( ) ( ) 0 lim . 0 m k m k P n khi a b Q n khi a b ìï+¥ > = í ï î-¥ < Để ý rằng nếu P(n), Q(n) có chứa « căn » thì ta vẫn tính được bậc của nó. Cụ thể m k n tì có bậc là . k n Ví dụ n có bậc là 1 3 4 , 2 n có bậc là 4 ,... 3 Trong các bài sau ta có thể dùng dấu hiệu trên để chỉ ra kết quả một cách nhanh chóng ! 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1. Tính      3 2 3 2 3n 5n 1 lim 2n 6n 4n 5 . Ví dụ 2: Tính 2 3 2 lim 3 1 n n n n + + - Ví dụ 3: Tính 7 2 3 lim 3 1 n n n n + + - Ví dụ 4: Cho dãy số ( )n u với 2 5 3 n n b u n + = + trong đó b là tham số thực. Để dãy số ( )n u có giới hạn hữu hạn, giá trị của b bằng bào nhiêu Ví dụ 5: Cho dãy số ( )n u với 2 2 4 2 . 5 n n n u an + + = + Để dãy số đã cho có giới hạn bằng 2, giá trị của a bằng bao nhiêu Ví dụ 6: Tính giới hạn ( )( )( ) ( )( ) 2 3 4 2 2 2 1 4 5 lim . 3 1 3 7 n n n n L n n n + + + = - - - Dạng 2. Dãy số chứa căn thức 1. Phương pháp  Nếu biểu thức chứa căn thức cần nhân một lượng liên hiệp để đưa về dạng cơ bản.