Tiêu đề ÔN TẬP CHƯƠNG 4_TOÁN 12_CD_LỜI GIẢI.pdf ✅

BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG IV PHẦN 1. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA 1. Cho hàm số ( ) 2 x f x x e = + . Nguyên hàm F x( ) của hàm số f x( ) trên ¡ sao cho F(0) 2023 = là: A. 2 2023 x x e + + . B. 2 x x e C + + . C. 2 2022 x x e + + . D. 2 x x e + . Lời giải Chọn C Ta có   2 ( ) 2 x x f x dx x e dx x e C = + = + + ò ò . Suy ra 2 ( ) x F x x e C = + + . Mà F(0) 2023 = nên 2 0 0 2023 + + = e C , suy ra C = 2022 . Vậy 2 ( ) 2022 x F x x e = + + . 2. Biết 3 F x x ( ) = là một nguyên hàm của hàm số f x( ) trên ¡ . Giá trị của   2 1 é ù 2 d + f x x òë û bằng: A. 23 4 . B. 7 . C. 9 . D. 15 4 . Lời giải Chọn C Ta có       3 2 f x F x x x = ¢ 3 ¢ = = . Khi đó           2 2 2 2 3 3 3 1 1 1 é ù 2 2 3 2 2 2 2 2 1 1 9 + = + = + = × + - × + = f x dx x dx x x ò ò ë û 3. Biết   1 0 é ù f x x x + = 2 d 2 òë û . Khi đó, 1 0 f x x ( )d ò bằng: A. 1 . B. 4 . C. 2 . D. 0 . Lời giải Chọn A Ta có     1 1 1 0 0 0 é ù f x x dx f x dx xdx + = + 2 2 ò ò ò ë û . Lại có 1 1 2 2 2 0 0 2 1 0 1 xdx x = = - = ò . Mà   1 0 é ù f x x dx + = 2 2 òë û . Do đó,   1 0 f x dx + =1 2 ò . Suy ra   1 0 f x dx =1 ò 4. Tìm:
а)   3 2 2 d x x x x - + ò ; b) 3 1 2 d x x x æ ö + ç ÷ è ø ò c)   2 3 2 tan d + x x ò ; d)   2 1 3cot d - x x ò ; e)   1 sin 2 d x x x - + + ò ; g)   2 1 2.6 d x x e x - + - ò . Lời giải a)     5 3 3 4 2 2 2 2 2 2 2 5 3 x x x x x dx x x x dx x C æ ö - + = - + = - + + ç ÷ è ø ò ò . b) 2 3 2 2 3 2 1 1 2 2 2 2 x x dx xdx x dx x C x C x x - æ ö - + = + = + + = - + ç ÷ è ø - ò ò ò . c)   2 3 2 tan + x dx ò   2 2 1 1 2 1 tan 1 2 cos x dx dx x æ ö = + + = + × é ù ç ÷ ë û è ø ò ò 2 1 1 2 2 tan cos dx dx x x C x = + = + + ò ò d)   2 1 3cot - x dx ò   2 2 1 4 3 1 cot 4 3 sin x dx dx x æ ö = - + = - × é ù ç ÷ ë û è ø ò ò 2 1 4 3 4 3 cot sin dx dx x x C x = - = + + ò ò e)       1 1 1 1 2 sin 2 sin 2 2 cos 2 ln 2 x x x x dx xdx dx x C - - + - - + = + = - + × + ò ò ò I 1 2 cos ln 2 x C - + = - - + g)           2 1 2 1 2 1 2 1 6 2 6 2 6 2 ln 6 ln x x x x x x e e dx dx e e dx e C e - - + - - × - = - = × - × + ò ò ò 2 6 1 ln6 x x e C - + = + + 5. a) Cho hàm số 2 ( ) x f x x e- = + . Tìm nguyên hàm F x( ) của hàm số f x( ) trên ¡ sao cho F (0) 2023 = . b) Cho hàm số 1 g x x ( ) ( 0) x = > . Tìm nguyên hàm G x( ) của hàm số g x( ) trên khoảng (0; ) +¥ sao cho G(1) 2023 = . Lời giải a) Ta có   3 2 ( ) 3 x x x f x dx x e dx e C - - = + = - + ò ò . Suy ra 3 ( ) 3 x x F x e C - = - + . Mà F(0) 2023 = nên 3 0 0 2023 3 e C - - + = , suy ra C = 2024 . Vậy 3 ( ) 2024 3 x x F x e- = - + .
b) Ta có 1 g x dx dx x C x C ( ) ln | | ln x = = + = + ò ò (do x 0 > ). Suy ra G (x ) ln = + x C . Mà G(1) 2023 = nên ln1 2023 + = C , suy ra C = 2023 . Vậy G x x ( ) ln 2023 = + . 6. Tính: a) 1 3 1 ( 2) d x x - + ò ; b) 2 2 1 2 dx x ò ; c) 4 2 1 x x x d ò ; d) 0 3 2 1 2 d x x + -ò ; e) 2 1 0 2 3 d x x x + × ò ; g) 1 0 7 d 11 x x x ò . Lời giải a)   1 1 1 4 3 3 2 3 2 1 1 1 ( 2) 6 12 8 2 6 8 4 x x dx x x x dx x x x - - - æ ö + = + + + = + + + ç ÷ è ø ò ò 4 4 1 ( 1) 3 2 3 2 2 1 6 1 8 1 2 ( 1) 6 ( 1) 8 ( 1) 20 4 4 æ ö æ ö - = + × + × + × - + × - + × - + × - = ç ÷ ç ÷ è ø è ø Cách khác: 1 1 4 4 4 3 1 1 (x 2) (1 2) ( 1 2) (x 2) dx 20 4 4 4 - - + + - + + = = - = ò . b) 2 2 2 2 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 x dx x dx x x - - - - - = = × = = - = - ò ò c)   4 4 4 5 7 4 2 3 3 3 2 2 1 1 1 1 2 2 2 254 4 4 1 1 7 7 7 7 x xdx x dx x x x = = = = - = ò ò . d)       0 0 0 3 0 3 2 2 3 0 1 3 1 1 1 1 2 4 4 7 2 2 2 4 8 8 8 ln 2 3ln 2 3ln 2 6ln 2 x x x x dx dx + - - - - - = = × = × = - = ò ò . e)   2 2 2 2 1 2 0 0 0 0 0 6 3 105 2 3 3 (2 3) 3 6 3 6 6 ln6 ln6 ln6 x x x x x dx dx dx + × = × = = × = - = ò ò ò . g) 1 1 1 1 0 0 0 0 7 7 7 1 7 7 4 11 11 11 11 11 7 7 7 ln ln 11ln 11 11 11 x x x x dx dx æ ö ç ÷ æ ö æ ö æ ö è ø é ù - = = = - = ç ÷ ç ÷ ç ÷ ê ú è ø è ø è ø ë û ò ò . 7. Một khinh khí cầu bay vối độ cao (so với mực nước biển) tại thời điểm t là h t( ) , trong đó t tính bằng phút, h t( ) tính bằng mét. Tốc độ bay của khinh khí cầu được cho bởi hàm số 2 v t t t ( ) 0,12 1,2 =- + với t tính bằng phút, v t( ) tính bằng mét/phút. Tại thời điểm xuất phát ( 0) t = , khinh khí cầu ở độ cao 520 m
và 5 phút sau khi xuất phát, khinh khí cầu đã ở độ cao 530 m (Nguồn: A. Bigalke et al., Mathematik, Grundkurs ma-1, Cornelsen 2016). a) Viết công thức xác định hàm số h t t ( )(0 29) £ £ . b) Độ cao tối đa của khinh khí cầu khi bay là bao nhiêu? c) Khi nào khinh khí cầu sẽ trở lại độ cao khi xuất phát? Lời giải a) Hàm số h t( ) là một nguyên hàm của hàm số v t( ) . Ta có   2 3 2 v t dt t t dt t t C ( ) 0,12 1, 2 0,04 0,6 = - + = - + + ò ò . Suy ra 3 2 h t t t C ( ) 0,04 0,6 =- + + . Vì với t =0 thì h = 520 , tức là h(0) 520 = , suy ra C = 520 . Vậy 3 2 h t t t t ( ) 0,04 0,6 520(0 29) =- + + £ £ . b) Độ cao tối đa của khinh khí cầu khi bay chính là giá trị lớn nhất của hàm số h(t) trên đoạn $[0 ; 29]$. Ta có 2 h t v t t t ¢( ) ( ) 0,12 1,2 = =- + . Trên khoảng (0; 29) , h t ¢( ) 0 = khi t 10 = . h h h (0) 520, (10) 540, (29) 49, 04. = = = Suy ra 0;29 max ( ) 540 h t = tại t 10 = . Vậy độ cao tối đa của khinh khí cầu là 540 m . c) Khinh khí cầu trở lại độ cao khi xuất phát khi h t( ) 520 = , tức là 3 2 3 2 - + + = Û - = Û = 0,04 0,6 520 520 0,04 0,6 0 0 t t t t t hoặc t =15 Với t =0, tức là tại thời điểm xuất phát. Với t = Î 15 [0; 29], thỏa mãn. Vậy sau 15 phút thì khinh khí cầu trở lại độ cao khi xuất phát. 8. Một công trình xây dựng dự kiến hoàn thành trong 100 ngày. Số lượng công nhân được sử dụng tại thời điểm t cho bởi hàm sốm t t t ( ) 500 50 10 = + - trong đó t tính theo ngày (0 100), ( ) £ £t m t tính theo người (Nguồn: A. Bigalke et al., Mathematik, Grundkurs ma-1, Cornelsen 2016). a) Khi nào có 360 công nhân được sử dụng? b) Khi nào số công nhân được sử dụng lốn nhất? c) Gọi M t( ) là số ngày công được tính đến hết ngày thứ t (kể từ khi khởi công công trình). Trong kinh tế xây dựng, người ta đã biết rằng M t m t ¢( ) ( ) = . Tổng cộng cần bao nhiêu ngày công để hoàn thành công trình xây dựng đó? Lời giải