Tiêu đề Pembahasan Soal SMP Matematika - PSO KARO 2024.pdf ✅

Page 1 of 16 BIDANG : MATEMATIKA SMP POSI SCIENCE OLYMPIAD – LABUHAN BATU 2024 FOKUS – HEBAT – JUARA SOAL DAN PEMBAHASAN MATEMATIKA SMP POSI SCIENCE OLYMPIAD (PSO) – LABUHAN BATU 2024 1. (Operasi bilangan bulat) – Mudah Hasil dari 9 + 2024: 11% × 7 23 − 5549 adalah ... a. 38 b. 60 c. 73 d. 87 Jawaban: B Pembahasan: Tinjau bahwa 2024 = 2 3 × 11 × 23. Akibatnya, diperoleh 9 + 2024: 11% × 7 23 − 5549 = 9 + 2024: 11 100 × 7 23 − 5549 = 9 + 2024 × 100 11 × 7 23 − 5549 = 9 + 2 3 × 11 × 23 × 100 11 × 7 23 − 5549 9 + 8 × 700 − 5549 = 9 + 5600 − 5549 = 60. 2. (FPB dan KPK) – Mudah Diberikan bilangan asli a dan b dengan a < b sehingga b − a = 7 dan KPK(a, b) = FPB(a, b) + a + 3b. Jika M = 20a + 24b, maka nilai M adalah ... a. 1023 b. 1149 c. 1400 d. 1568 Jawaban: C Pembahasan: Misalkan d = FPB(a, b), didapat a = dp dan b = dq untuk suatu bilangan asli relatif prima p dan q. Menurut sifat ab = KPK(a, b) ⋅ FPB(a, b), persamaan pada soal menjadi dpq = d + dp + 3dq ⇒ pq = p + 3q + 1 ⇒ p(q − 1) = 3q + 1 ⇒ p = 3q + 1 q − 1 = 3 + 4 q − 1 . Karena p merupakan bilangan asli, haruslah q − 1 ∈ {1,2,4} sehingga q ∈ {2,3,5}. ● Jika q = 2 , maka p = 3 + 4 2−1 = 3 + 4 = 7 sehingga diperoleh (p, q) = (7,2) yang memberikan 7 = b − a = dq − dp = 2d − 7d = −5d, kontradiksi dengan d merupakan bilangan bulat positif. ● Jika q = 3 , maka p = 3 + 4 3−1 = 3 + 2 = 5 sehingga diperoleh (p, q) = (5,3) yang memberikan 7 = b − a = dq − dp = 3d − 5d = −2d, kontradiksi dengan d merupakan bilangan bulat positif. ● Jika q = 5 , maka p = 3 + 4 5−1 = 3 + 1 = 4 sehingga diperoleh (p, q) = (4,5) yang memberikan 7 = b − a = dq − dp = 5d − 4d = d. Akibatnya, (a, b) = (28,35). Dengan demikian, M = 20a + 24b = 20 ⋅ 28 + 24 ⋅ 35 = 560 + 840 = 1400. 3. (Basis bilangan) – Mudah Jika 128 = x2, maka jumlahan digit-digit x adalah ... a. 2 b. 3
Page 2 of 16 BIDANG : MATEMATIKA SMP POSI SCIENCE OLYMPIAD – LABUHAN BATU 2024 FOKUS – HEBAT – JUARA c. 5 d. 7 Jawaban: A Pembahasan: Tinjau bahwa 128 = 1 ⋅ 8 1 + 2 ⋅ 8 0 = 1 ⋅ 2 3 + 0 ⋅ 2 2 + 1 ⋅ 2 1 + 0 ⋅ 2 0 = 10102. Dengan demikian, jumlahan digit-digit x = 1010 adalah 1 + 0 + 1 + 0 = 2. 4. (Sisa pembagian) – Mudah Sisa pembagian 1 × 101 + 2 × 102 + 3 × 103 + ⋯ + 2025 × 102025 . Oleh 11 adalah ... a. 4 b. 7 c. 8 d. 10 Jawaban: D Pembahasan: Tinjau bahwa 10k dibagi 11 bersisa {1,jika k genap; −1,jika k ganjil. Akibatnya, jumlahan pada soal setara dengan (dalam sisa pembagian oleh 11) −1 + 2 − 3 + 4 − 5 + 6 − ⋯ − 2023 + 2024 − 2025 = 1 + 1 + 1 + ⋯ + 1⏟2024 2 =1012 buah angka 1 − 2025 = 1012 − 2025 = −1013. Berikutnya, karena 1100 = 11 × 100, diperoleh sisa pembagian yang dimaksud adalah −1013 + 1100 = 87 = 11 ⋅ 7 + 10. Dengan demikian, sisa pembagian yang dicari adalah 10. 5. (Operasi bilangan berpangkat) – Mudah Jika hasil dari 8 2024× 3 2023 2 2024−48 24×(121011−1) dapat ditulis dalam bentuk a × (b c + d) dengan a, b, c, dan d merupakan bilangan asli sehingga d < a < b < c, maka nilai dari 20a + b + c + 24d adalah ... a. 775 b. 894 c. 949 d. 1087 Jawaban: D Pembahasan: Tinjau bahwa dengan sifat a m × b m = (a × b)m, diperoleh 8 2024 × 3 2023 2 2024 − 48 24 × (121011 − 1) = 2 2024 × 4 2024 × 3 2023 2 2024 − 48 24 × (121011 − 1) = 4 × 4 2023 × 3 2023 − 48 24 × (121011 − 1) = 4 × 122023 − 48 24 × (121011 − 1) = 4 × 12 × 122022 − 48 24 × (121011 − 1) = 48 × 122022 − 48 24 × (121011 − 1) = 48 × (122022 − 1) 24 × (121011 − 1) = 2 × (121011 + 1) × (121011 − 1) 121011 − 1 = 2 × (121011 + 1). Jadi, diperoleh a = 2, b = 12, c = 1011, dan d = 1 sehingga 20a + b + c + 24d = 20 ⋅ 2 + 12 + 1011 + 24 ⋅ 1 = 40 + 1023 + 24 = 1087. 6. (Sisa pembagian) – Mudah Diketahui tiga bilangan 1238,1596, dan 2491 bersisa y ketika dibagi x. nilai dari x + y = ⋯ a. 286
Page 3 of 16 BIDANG : MATEMATIKA SMP POSI SCIENCE OLYMPIAD – LABUHAN BATU 2024 FOKUS – HEBAT – JUARA b. 343 c. 471 d. 558 Jawaban: B Pembahasan: Dipunyai {1238 = ax + y ... (1) 1596 = bx + y ... (2) 2491 = cx + y ... (3) untuk suatu bilangan bulat tak negatif a, b, dan c. Kurangkan Persamaan (2) dan (1), didapat 358 = (b − a)x ... (4). Selanjutnya, kurangkan Persamaan (3) dan (2), didapat 895 = (c − b)x ... (5). Akibatnya, x ∣ 358 dan x ∣ 895. Karena 358 = 179 ⋅ 2 dan 895 = 179 ⋅ 5, haruslah x = 179 sehingga y = 1238 − 179 ⋅ 6 = 164 yang memberikan x + y = 179 + 164 = 343. 7. (Operasi Himpunan) – Mudah Diberikan bilangan asli n < 100 dan himpunan A = {x ∣ x bilangan asli}, B = {x ∣ √n = x}, dan C = {x ∈ Z ∣ x 2 − 9x + 10 = 0}. Jika K = {n ∣ B ⊂ A} dan L = K − C, maka banyaknya anggota himpunan L adalah ... a. 4 b. 5 c. 7 d. 9 Jawaban: C Pembahasan: Berdasarkan definisi himpunan K, haruslah n merupakan bilangan kuadrat sempurna. Jadi, K = {1 2 , 2 2 , 3 2 , 4 2 , 5 2 , 6 2 , 7 2 , 8 2 , 9 2 } = {1,4,9,16,25,36,49,64,81}. Karena x 2 − 9x + 10 = 0 ⇒ (x − 9)(x − 1) = 0 ⇒ x = 9 ∨ x = 1 , didapat C = {1,9} sehingga L = K − C = {4,16,25,36,49,64,81}. Dengan demikian, banyaknya anggota himpunan L adalah 7. 8. (Fungsi) – Mudah Diberikan fungsi f: Z → Z yang memiliki invers f −1 sehingga f −1 (20x − 36) = x − 3. Jika nilai f(5) merupakan bilangan asli 3-digit pqr dengan p, q, dan r merupakan bilangan asli sehingga p ≠ 0, maka nilai dari p + 2q + 3r = ⋯ a. 9 b. 17 c. 26 d. 33 Jawaban: B Pembahasan: Berdasarkan definisi invers fungsi, didapat f(x − 3) = 20x − 36 sehingga f(5) = f(8 − 3) = 20 ⋅ 8 − 36 = 160 − 36 = 124. Jadi, p = 1, q = 2, dan r = 4 sehingga p + 2q + 3r = 1 + 2 ⋅ 2 + 3 ⋅ 4 = 1 + 4 + 12 = 17. 9. (Keterbagian) – Mudah Diberikan bilangan asli x dan y sehingga 8x + 9y = 6 + xy . Jika M menyatakan nilai maksimum dari x yang dicapai ketika y = k, maka nilai dari M + k = ⋯
Page 4 of 16 BIDANG : MATEMATIKA SMP POSI SCIENCE OLYMPIAD – LABUHAN BATU 2024 FOKUS – HEBAT – JUARA a. 32 b. 47 c. 68 d. 84 Jawaban: D Pembahasan: Tinjau bahwa 8x + 9y = 6 + xy ⇒ xy − 8x = 9y − 6 ⇒ x(y − 8) = 9y − 6 ⇒ x = 9y − 6 y − 8 = 9(y − 8) + 66 y − 8 = 9 + 66 y − 8 . Karena x merupakan bilangan asli, haruslah (y − 8) ∣ 66. Agar x maksimum, haruslah y − 8 minimum, yaitu y − 8 = 1 sehingga y = 9 = k. Akibatnya, M = 9 + 66 1 = 9 + 66 = 75. Dengan demikian, M + k = 75 + 9 = 84. 10. (Operasi bilangan berpangkat) – Mudah Jika p dan q merupakan bilangan asli dengan p < q sehingga a 9 + 2 habis dibagi 10 untuk a = p dan a = q, maka nilai dari p + q = ⋯ a. 26 b. 30 c. 44 d. 58 Jawaban: A Pembahasan: Agar a 9 + 2 habis dibagi 10, a harus genap dengan satuan dari a 9 harus sama dengan 8. Jelas bahwa p = 8 dan q = 18 sehingga p + q = 8 + 18 = 26. 11. (Persamaan kuadrat dengan satu peubah) – Mudah Misalkan s dan t merupakan dua real berbeda dari persamaan kuadrat x 2 − (p − 1)x + (p 2 + 3p + 4) = 0 untuk suatu bilangan real p . Jika M merupakan bilangan asli terbesar sehingga s 2 + t 2 ≤ M, maka jumlahan semua faktor positif dari M adalah ... a. 5 b. 6 c. 7 d. 8 Jawaban: D Pembahasan: Nilai diskriminan D harus lebih dari nol: D > 0 ⇒ (−(p − 1)) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (p 2 + 3p + 4) > 0 ⇒ p 2 − 2p + 1 − 4p 2 − 12p − 16 > 0 ⇒ −3p 2 − 14p − 15 > 0 ⇒ 3p 2 + 14p + 15 < 0 ⇒ (3p + 5)(p + 3) < 0 ⇒ −3 < p < − 5 3 . Selanjutnya, berdasarkan teorema Vieta, diperoleh bahwa s + t = −(−(p − 1)) = p − 1 dan st = p 2 + 3p + 4 sehingga s 2 + t 2 = (s + t) 2 − 2st = (p − 1) 2 − 2 ⋅ (p 2 + 3p + 4) = p 2 − 2p + 1 − 2p 2 − 6p − 8 = −p 2 − 8p − 7 = −(p 2 + 8p + 7) = −((p + 4) 2 − 9) = 9 − (p + 4) 2 . Nilai terbesar s 2 + t 2 terjadi saat (p + 4) 2 bernilai minimum dengan −3 < p < − 5 3 .