Tiêu đề Chương 6_Bài 21_Giải bài toán bằng cách lập phương trình_Lời giải.pdf ✅

BÀI 21. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH. A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM Nhận xét. Các bước giải một bài toán bằng cách lập phương trình: Bước 1. Lập phương trình: - Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số. - Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết. - Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng. Bước 2. Giải phương trình. Bước 3. Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thoả mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận. Ví dụ 1: Một sân bóng đá 7 người có chiều rộng nhỏ hơn chiều dài 30 m và có diện tích bằng 2 1800 m . Tính chiều dài và chiều rộng của sân bóng đó. Lời giải Gọi x( m) là chiều rộng của sân bóng. Điều kiện: x  0 . Khi đó, chiều dài của sân bóng là x + 30( m) . Theo đề bài, ta có phương trình: x x( 30) 1800 + = hay 2 x x + − = 30 1800 0. Ta có: 2  = + =  =   15 1800 2025, 45. Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt: 1 15 45 60 1 x − − = = − (loại); 2 15 45 30 1 x − + = = (thoả mãn điều kiện). Vậy sân bóng có chiều dài 60 m và chiều rộng 30 m . Ví dụ 2: Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 36 km . Một tàu du lịch đi từ bến A đến bến B , nghỉ 30 phút ở bến B rồi quay lại bến A . Thời gian kể từ lúc khởi hành đến khi về đến bến A là 5,5 giờ. Hãy tìm vận tốc thực của tàu du lịch (tức là vận tốc của tàu khi nước yên lặng), biết rằng vận tốc của dòng nước là 3 km / h . Lời giải Gọi x( km / h) là vận tốc thực của tàu du lịch. Vì vận tốc của dòng nước là 3 km / h nên phải có điều kiện x  3 để tàu có thể chạy ngược dòng. Vận tốc của tàu khi xuôi dòng là x + 3( km / h) , thời gian để tàu đi xuôi dòng là 36 x + 3 (giờ). Vận tốc của tàu khi ngược dòng là x −3( km / h) , thời gian để tàu đi ngược dòng là 36 x −3 (giờ). Thời gian tàu nghỉ tại bến B là 30 phút = 0,5 giờ.
Theo đề bài, ta có phương trình: 36 36 36 36 0,5 5,5 hay 5 x x x x 3 3 3 3 + + = + = + − + − Để giải phương trình này, ta quy đồng mẫu vế trái của phương trình: 36( 3) 36( 3) 5 ( 3)( 3) x x x x − + + = + − Nhân cả hai vế của phương trình với ( 3)( 3) x x + − để khử mẫu, ta được phương trình bậc hai 2 36( 3) 36( 3) 5( 3)( 3), hay 5 72 45 0 x x x x x x − + + = + − − − = Ta có: 2  = −  − =  = =   36 5 ( 45) 1521; 1521 39 . Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt: 1 36 39 3 5 5 x − − = = (loại); 2 36 39 15 5 x + = = (thoả mãn điểu kiện). Vậy vận tốc thực của tàu du lịch là 15 km / h . B. BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA 6.28. Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 2 360 m . Néu tăng chiều rộng 3 m và giảm chiều dài 4 m thì diện tích mảnh đất không đổi. Tìm các kích thước của mảnh đất đó. Lời giải Gọi x m( ) là chiều rộng của hình chữ nhật ( 0) x  . Chiều dài của hình chữ nhật là 360 ( m) x . Chiều rộng tăng 3 m nên chiều rộng sau tăng là: x m + 3( ). Chiều dài giảm 4 m nên chiều dài sau giảm là: 360 4( m) x − . Theo bài, sau khi thay đổi kích thước thì diện tích mảnh đất không đổi, nên ta phương trình: 360 ( 3) 4 360 x x   + − =     1080 360 4 12 360 0 x x − + − − = 1080 4 12 0 x x − + − = Quy đồng mẫu vế trái của phương trình, ta được: 2 4 1080 12 0. x x x x x − + − = Nhân cả hai vế của phương trình với x để khử mẫu, ta được phương trình bậc hai: 2 − + − = 4 1080 12 0 x x 2 x x + − = 3 270 0 Ta có 2  = −   − = 3 4 1 ( 270) 1089 và  = = 1089 33 . Suy ra phương trình trên có hai nghiệm phân biệt:
1 3 33 18 2 1 x − − = = −  (loại); 2 3 33 15 2 1 x − + = =  (thỏa mãn điều kiện). Vậy chiều rộng của mảnh đất là 15( m) và chiều dài của mảnh đất là: 360 24( m) 15 = . 6.29. Sau hai năm, số dân của một thành phố tăng từ 1200000 người lên 1452000 người. Hỏi trung bình mỗi năm dân số của thành phố đó tăng bao nhiêu phẩn trăm? Lời giải Gọi x là tốc độ trung bình tăng dân số của thành phố ( x được cho dưới dạng số thập phân, x  0 ). Số dân của thành phố sau năm thứ nhất là: 1200000.(1 ) + x (người). Số dân của thành phố sau năm thứ hai là: 2 1200000 (1 ) (1 ) 1200000 (1 )  +  + =  + x x x (người). Theo bài, ta có phương trình: 2 1200000 (1 ) 1452000  + = x 2 (1 ) 1,21 + = x 1 1,1 + =x (do x  0 ) x = 0,1 (thỏa mãn). Vậy tốc độ gia tăng dân số của thành phố đó là 0,1 10% = . 6.30. Một thanh sô cô la có dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài 12 cm , chiều rộng 7 cm và độ dày 3 cm . Do giá nguyên liệu ca cao tăng nhưng vẫn muốn giữ nguyên giá bán nên nhà sản xuất quyết định giảm 10% thể tích của mỗi thanh sô cô la. Để thực hiện việc này, nhà sản xuất dự định làm thanh sô cô la mới có cùng độ dày 3 cm như thanh cũ, nhưng chiều dài và chiều rộng sẽ giảm đi cùng một số centimét. Hỏi kích thước của thanh sô cô la mới là bao nhiêu? Lời giải Gọi x( cm) là số centimét mà chiều dài và chiều rộng bị giảm (0 7)  x . Chiều dài và chiều rộng thanh sô cô la sau giảm lần lượt là: 12 x(cm) − và 7 x(cm) − . Thể tích của thanh sô cô la mới là: ( ) 3 (12 )(7 ).3 cm − − x x . Theo bài, thể tích thanh sô cô la giảm 10% so với ban đầu nên thể tích của thanh sô cô la mới là: ( ) 3 (12 7 3) (100% 10%) 252 90% 226,8 cm    − =  = . Khi đó, ta có phương trình: (12 )(7 ) 3 226,8 − −  = x x (12 )(21 3 ) 226,8 − − = x x 2 252 36 21 3 226,8 0 − − + − = x x x 2 3 57 25,2 0 x x − + =
2 15 285 126 0 x x − + = 2 5 95 42 0 x x − + = Ta có 2  = − −  =  ( 95) 4.5 42 8185 0 . Suy ra phương trình trên có hai nghiệm phân biệt: 1 95 8185 18,55 2 5 x + =   (loại); 2 95 8185 0,45 2 5 x − =   (thỏa mãn điều kiện). Vậy chiều dài và chiều rộng thanh sô cô la mới lần lượt là: 12 0,45 11,55( cm) − = và 7 0,45 6,55( cm) − = . 6.31. Một máy bay khởi hành từ Hà Nội vào Thành phố Hồ Chí Minh, sau đó nghỉ 96 phút và tiếp tục bay về Hà Nội với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi là 100 km / h . Tổng thời gian của cả hành trình, kể từ khi xuất phát từ Hà Nội đến khi quay về Hà Nội là 6 giờ. Tính vận tốc của máy bay lúc đi, biết quãng đường bay Hà Nội - Thành phố Hồ Chí Minh dài khoảng 1200 km . Lời giải Gọi x( km / h) là vận tốc máy bay khi bay từ Hà Nội vào Thành phố Hồ Chí Minh ( 0) x  . Vận tốc của máy bay khi bay từ Thành phố Hồ Chí Minh về Hà Nội là x + 100( km / h). Thời gian bay từ Hà Nội vào Thành phố Hồ Chí Minh là: 1200 x (giờ). Thời gian bay từ Thành phố Hồ Chí Minh về Hà Nội là: 1200 x +100 (giờ). Đổi 96 phút = 1 giờ 36 phút = 1,6 (giờ). Theo bài, tổng thời gian của cả hành trình, kể từ khi xuất phát từ Hà Nội đến khi quay về Hà Nội là 6 giờ và máy bay có nghỉ tại Thành phố Hồ Chí Minh 96 phút nên thời gian máy bay bay cả đi và về là: 6 1,6 4,4 − = (giờ). Khi đó, ta có phương trình: 1200 1200 4,4 x x 100 + = + . Quy đồng mẫu vế trái của phương trình, ta được: 1200( 100) 1200 4,4 ( 100) ( 100) x x x x x x + + = + + Nhân cả hai vế của phương trình với x x( 100) + để khử mẫu, ta được phương trình: 1200( 100) 1200 4,4 ( 100) x x x x + + = +2 1200 120000 1200 4,4 440 x x x x + + = + 2 4,4 1960 120000 0 x x − − = 11 4900 300000 0 x x − − =