Tiêu đề Chuyên đề 6. Các bài toán về số chính phương.pdf ✅

Trang 1/13 CĐ 6: CÁC BÀI TOÁN VỀ SỐ CHÍNH PHƢƠNG Dạng 1: Chứng minh một số (một tổng) là số chính phương Dạng 2: Chứng minh một số (một tổng) không là số chính phương Dạng 3: Tìm số chính phương Dạng 1: Chứng minh một số (một tổng) là số chính phƣơng Câu 1. (HSG 7 huyện Hậu Lộc 2022 - 2023) Cho a , b , c , d là các số nguyên thỏa mãn 2 2 2 2 a b c d    . Chứng minh rằng: abcd  2023 viết được dưới dạng hiệu của hai số chính phương. Lời giải Cách 1: Ta có:   2 2 2 1 4 4 1 4 ( 1) 1 m m m m m        . Do đó ta có   2 2 1 m là số chính phương lẻ chia 8 luôn dư 1. Nếu a b c d , , , đều lẻ thì 2 2 2 2 a b c d , , , chia 8 đều dư 1 dẫn đến không xảy ra 2 2 2 2 a b c d    (vì vế trái chia 8 dư 1 , vế phải chia 8 dư 3 ) Vậy trong các số a b c d , , , phải có ít nhất một số chẵn nên abcd chẵn  abcd  2023 lẻ. Đặt abcd k k     2023 2 1    2 2    k k 1 Cách 2: 2 2 2 2 a b c d        2 2 a b a b c d     Giả sử cả bốn số a b c d , , , đều lẻ thì a b a b   ,   chẵn  a b a b     4    2 2 c d  4 mà 2 2 c d, là các số chính phương lẻ khi chia cho 4 dư 1 nên    2 2 c d  :4 dư 2 ( mâu thuẫn). Điều giả sử sai. Suy ra ít nhất một trong bốn số có một số chẵn  abcd chẵn  abcd  2023 lẻ. Ta có: 2023 1011 1012 1012 1011 2 2 2 2 abcd abcd abcd abcd abcd                      1012 1011 .1 2 2       abcd abcd                 1012 1011 . 1012 1011 2 2 2 2             abcd abcd abcd abcd                                2 2 1012 1011 2 2     abcd abcd             mà abcd chẵn nên abcd 2 hay 2 abcd   2 2 1012 ; 1011 2 2     abcd abcd           là các số chính phương. Vậy abcd  2023 viết được dưới dạng hiệu của hai số chính phương. Câu 2. (HSG 7 thị xã Nghị Sơn 2022 - 2023)
Trang 2/13 Cho n là số tự nhiên có hai chữ số, Tìm n biết n  4 và 2n đều là các số chính phương. Lời giải Nhận xét: Số chính phương không thể tận cùng là 2; 3; 7; 8 Vì 2n là số chính phương nên n chẵn  n tận cùng là 0; 2; 4; 6; 8  Nếu n tận cùng là 4; 8 thì n  4 không phải là số chính phương.  Nếu n tận cùng là 6 thì 2n không phải là số chính phương. Do đó n chỉ có thể tận cùng là 0 hoặc 2  n  4 chỉ có thể tận cùng là 4 hoặc 6 . Vì n là số có hai chữ số nên 14 4 104    n . Mà n  4 là số chính phương tận cùng là 4 hoặc 6 nên n 4 16; 36; 64    Nếu n   4 16  n  12 khi đó 2 24 n  (không thỏa mãn)  Nếu n   4 36  n  32 khi đó 2 64 n  thỏa mãn)  Nếu n   4 64  n  60 khi đó 2 120 n  (không thỏa mãn) Vậy n  32 Câu 3. (HSG 7 Thành phố Ninh Bình 2022 - 2023) Cho 5 số dương đôi một khác nhau sao cho mỗi số không có ước nguyên tố nào khác 2 và 3 . Chứng minh rằng trong 5 số đó tồn tại hai số mà tích của chúng là một số chính phương Lời giải Mỗi số trong 5 số có dạng 2 3 x y  trong đó x y, là số tự nhiên khác 0 . ( ; ) x y chỉ có thể ( ; );( ; );( ; );( ; ) C C L L C L L C vì có 5 số 4 dạng nên tồn tại 2 số cùng một dạng nên tích 2 số này là số chính phương. Câu 4. (HSG 7 huyện Điện Bàn 2022 - 2023) Cho số tự nhiên a gồm 60 chữ số 1 , số tự nhiên b gồm 30 chữ số 2 . Chứng minh rằng hiệu a b  là một số chính phương. Lời giải Ta có: 30 60 / 1 30 / 1 30 / 0 30 / 1 30 / 1 30 / 1 111...111 111...11100...000 111...111 111...111.10 111...111 c s c s c s c s c s c s a      Đặt 30 / 1 111...111 c s c   30 30 / 9 9 1 999...99 1 10 c s c     Khi đó   2 a c c c c c      . 9 1 9 2 và b c  2 Xét hiệu   2 2 2 a b c c c c c       9 2 2 9 3 Vậy   2 a b c   3 là số chính phương. Câu 5. (HSG 7 huyện HƢNG HÀ, trƣờng VĂN LANG 2022 - 2023) Biết 1 1 1 1 1 ... 11 2 6 12 20 110 x x x x x x            . Chứng minh rằng 110x là số chính phương. Lời giải Nhận xét: Vế trái của đẳng thức luôn  0 nên vế phải  0 suy ra 11x  0 hay x  0 . Vì x  0 nên ta có 1 1 1 1 1 ... 11 2 6 12 20 110 x x x x x x           
Trang 3/13 1 1 1 1 1 ... 11 2 6 12 20 110 x x x x x x            suy ra 1 10 1 11 11 x    (t/m) Với 10 11 x  thì 2 110 100 10 x   nên 110x là số chính phương. Câu 6. (HSG 7 huyện Hƣng Hà, tỉnh Thái Bình 2021 – 2022S) Cho các số thực dương m và n thỏa mãn: 2020 2020 2021 2021 2022 2022 m n m n m n      và 2 2 P m n    7 . Chứng minh rằng P là số chính phương. Lời giải 2020 2020 2021 2021 2022 2022 m n m n m n      Suy ra 2022 2022 2021 2021 m n m n     0 và 2021 2021 2020 2020 m n m n     0 Hay     2021 2021 m m n n . 1 . 1 0     và     2020 2020 m m n n . 1 . 1 0     Từ đó suy ra         2021 2020 2021 2020          m m m m n n n n . 1 . 1 . 1 . 1 0     2 2 2020 2020      m m n n . 1 . 1 0 (1) Ta có:     2 2 2020 2020 m n m n       0; 0; 1 0; 1 0 Nên   2 2020 m m  1 0 và   2 2020 n n   1 0 (2) Từ (1) và (2) suy ra   2 2020 m m  1 0 và   2 2020 n n   1 0 hay   2 2020 m m   1 0 (do >0) và   2 2020 n    1 0 (do n 0) Từ đó ta có m  1 0 và n  1 0 hay m  1 và n  1 Khi đó 2 2 2 P m n         7 7 1 1 9 3 Vậy P là số chính phương. Câu 7. (HSG 7 huyện Quan Hoa, tỉnh Thanh Hoá 2021 – 2022) Cho các số nguyên dương n thỏa mãn n 1 và 2 1 n  đều là số chính phương. Chứng minh rằng n 24. Lời giải Đặt 2 2 n k n m k m N      1 ,2 1 ( , ) Vì 2 1 n  là số lẻ nên m là số lẻ. Đặt m t t N    2 1  ta có: 2 2 1 (2 1) n t     n t t   2 ( 1)  n , suy ra n t t   2 ( 1) hay n là số chẵn  k là số lẻ. Do vậy 2 n k k k      1 ( 1).( 1) là tích của hai số chẵn liên tiếp nên n 8 Mặt khác: 2 2 ( 1) (2 1) 3 2 n n n k m        là số chia 3 dư 2 Mà số chính phương khi chia cho 3 chỉ dư 0 hoặc 1 nên 2 k và 2 m chia 3 dư 1 Do đó 2 2 m k n n n       (2 1) ( 1) 3 . Vì (3,8) 1 nên n 24 (đpcm). Câu 8. (HSG 7 huyện Nghĩa Hành năm 2021 - 2022) Cho 5 số chính phương bất kì có chữ số hàng chục khác nhau còn chữ số hàng đơn vị đều là 6 . Chứng minh rằng tổng các chữ số hàng chục của 5 số chính phương đó là một số chính phương. Lời giải
Trang 4/13 Nếu một số chính phương 2 M a  có chữ số hàng đơn vị là 6 thì a là số chẵn, Do đó a 2  2 a 4 . Theo dấu hiệu chia hết cho 4 thì hai chữ số tận cùng của M phải chia hết cho 4 . Nên 2 chữ số tận cùng của M phải là một trong các số: 16 ; 36 ; 56 ; 76 ; 96 . Mà 5 số chính phương bất kì có chữ số hàng chục khác nhau, chữ số hàng đơn vị đều là 6 nên 5 chữ số hàng chục đó chính là: 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 . Từ đó tổng các chữ số hàng chục của 5 số chính phương đó là: 2 1 3 5 7 9 25 5       là số chính phương. Câu 9. (HSG 7 huyện Tam Dƣơng năm 2021 - 2022) Cho đa thức   3 2 f x ax bx cx d     trong đó a b c d , , ,  và thỏa mãn b a c   3 . Chứng minh rằng tích f f 1 . 2    là bình phương của một số nguyên. Lời giải Ta có:   3 2 f x ax bx cx d     . Nên:   3 2 f a b c d a b c d 1 .1 .1 .1         .         3 2 f a b c d a b c d              2 2 2 2 8 4 2 . Khi đó: f f a b c d a b c d a b c 1 2 8 4 2 9 3 3                               9 3 3 3 3 3 3 3 0 a c b a c b b b    (do b a c   3 ). Suy ra f f 1 2    . Do đó         2 2 f f f a b c d 1 . 2 1           là bình phương của một số nguyên. Câu 10. (HSG 7 huyện Vũ Thƣ năm 2021 - 2022) Cho đa thức:   3 2 f x ax bx cx d     ( a b c d , , , là các số nguyên). Biết 7 0. abc    Chứng minh rằng f f 3 . 2    là số chính phương. Lời giải Ta có:   3 2 f x ax bx cx d     ( , , , ) a b c d       f a b c d 3 27 9 3  và f a b c d       2 8 4 2            f f a b c a b c 3 2 35 5 5 5 7 0      (vì 7 0 abc    )           2        f f f f f 3 2 3 2 3     . Vì a b c d , , ,  nên f 3    2   f 3   là số chính phương. Vậy f f 3 2    là số chính phương. Câu 11. (HSG 7 huyện Vũ Thƣ, tỉnh Thái Bình, 2022- 2023) Cho đa thức: 2 f x ax bx c ( )    . Biết abc , , là các số nguyên và 2 0 a b   . Chứng minh rằng: f f 5 . 3    là số chính phương. Lời giải Vì 2 f x ax bx c ( )    , nên: