Tiêu đề ПО 2023 Математика Решения, критерии.pdf ✅

ПО 2023 Математиĸа Решения, ĸритерии 22.11.2023, 17:07 https://www.mathcha.io/editor/QMBGyFVmFEdfqZCp74dO4IYzKOzimZW0q5IxpxYOn Страница 1 из 15 Жұмыс уақыты: 2 сағат. Əр есеп 5 ұпайға бағаланады Время работы: 2 часа. Каждая задача оценивается в 5 баллов. Жаратылыстану-математикалық бағыттағы пəндер бойынша ХVI ПРЕЗИДЕНТТIК ОЛИМПИАДА XVI ПРЕЗИДЕНТСКАЯ ОЛИМПИАДА по предметам естественно- математического цикла Решения задач и критерии оценивания заключительного этапа по математике 1 есеп / Задача 1 1 ден 2023 ке дейін неше натурал сан 11-ге бөлінеді, бірақ 3-ке де, 5-ке де бөлінбейді. Сколько натуральных чисел от 1 до 2023 делятся на 11, но не делятся ни на 3, ни на 5. Жауабы: / Ответ: 98. Шешуі. 1 ден 2023 - ке дейінгі сандардан 11-ге бөлінетіндерінің саны: N = = 183. 11 2023 11 1 ден 2023 - ке дейінгі сандардан 11-ге жəне 3-ке, яғни 33-ке бөлінетіндерінің санын анықтасақ: N = = 61. 33 2023 33 1 ден 2023 - ке дейінгі сандардан 11-ге жəне 5-ке, яғни 55-ке бөлінетіндерінің саны: N = = 36. 55 2023 55 1 ден 2023 - ке дейінгі сандардан 11-ге де, 5-ке де жəне 3-ке де, яғни 165-ке бөлінетіндерінің саны: N = = 12. 165 2023 165 Онда 1 ден 2023 - ке дейінгі сандардан 11-ге бөлінетін, жəне 5-ке немесе 3-ке бөлінетіндерінің саны: N' = N + N - N = 61 + 36 - 12 = 85. 33 55 165
ПО 2023 Математиĸа Решения, ĸритерии 22.11.2023, 17:07 https://www.mathcha.io/editor/QMBGyFVmFEdfqZCp74dO4IYzKOzimZW0q5IxpxYOn Страница 2 из 15 Демек, 11-ге бөлінетін, бірақ 5-ке де, 3-ке де бөлінбейтіндердің саны: N = N - N' = 183 - 85 = 98. 11 Бағалау критерийлері 1. 11-ге бөлінетіндердің саны дұрыс анықталған немесе 1-ден 2023-ке дейінгі сандардан k - ға бөлінетіндердің саны екендігі көрсетілген..............................................(1 ұпай) 2023 k 2. N = N - N' көрсетілген (есептің шешуіндегі белгілеулер)....................................(1 ұпай) 11 3. N' = N + N - N көрсетілген (есептің шешуіндегі белгілеулер).....................(2 ұпай) 33 55 165 1 жəне 2 пункт ұпайлары қосылмайды. Решение. Количество чисел от 1 до 2023, которые делятся на 11, равно N = = 183. 11 2023 11 Найдём количество чисел от 1 до 2023, которые делятся на 11 и на 3, то есть на 33: N = = 61. 33 2023 33 Количество чисел от 1 до 2023, которые делятся на 11 и на 5, то есть на 55, равно N = = 36. 55 2023 55 Найдём количество чисел от 1 до 2023, которые делятся на 11, на 3 и на 5, то есть на 165: N = = 12. 165 2023 165 Тогда количество чисел от 1 до 2023, которые делятся на 11 и делятся на 3 или на 5, равно N' = N + N - N = 61 + 36 - 12 = 85. 33 55 165 Значит, количество чисел, которые делятся на 11, но не делятся ни на 3, ни на 5, равно N = N - N' = 183 - 85 = 98. 11 Критерии оценивания 1. Правильно определено количество чисел, делящихся на 11 или утверждается, что количество чисел от 1 до 2023, делящихся на k, равно ...................................(1 балл) 2023 k 2. Утверждается, что N = N - N' (обозначения из решения)...................................(1 балл) 11 3. Утверждается, что N' = N + N - N (обозначения из решения)..................(2 балла) 33 55 165 Баллы за пункты 1 и 2 не суммируются друг с другом.
ПО 2023 Математиĸа Решения, ĸритерии 22.11.2023, 17:07 https://www.mathcha.io/editor/QMBGyFVmFEdfqZCp74dO4IYzKOzimZW0q5IxpxYOn Страница 3 из 15 2 есеп / Задача 2 Екі қара пешка бар. Олар 8 × 8 шахмат тақтасының ешқандай екі шаршысында тігінен де, көлденеңінен де, қиғашында да көршілес болмайтындай орналастырылды. Мұны неше түрлі жолмен жасауға болады? Имеются две чёрные пешки. Их поставили на две клетки шахматной доски 8 × 8 так, чтобы эти клетки не были соседними ни по вертикали, ни по горизонтали, ни по диагонали. Сколькими различными способами можно это сделать? Жауабы: / Ответ: 1806. Шешуі. 1-тəсіл. Бірінші пешканың орналасуын қарастырайық. Шахмат тақтасының шаршыларына бірінші пешка сол шаршыда орналасқан жағдайда, екінші пешканың орналасу тəсілдерінің санын жазып шығайық: 8 60 58 58 58 58 58 58 60 7 58 55 55 55 55 55 55 58 6 58 55 55 55 55 55 55 58 5 58 55 55 55 55 55 55 58 4 58 55 55 55 55 55 55 58 3 58 55 55 55 55 55 55 58 2 58 55 55 55 55 55 55 58 1 60 58 58 58 58 58 58 60 a b c d e f g h Демек, есептің шартындағыдай бірінші жəне екінші пешкаларды шахмат тақташасына орналастырудың саны: 60 ⋅ 4 + 58 ⋅ 24 + 55 ⋅ 36 = 3612. Екі пешканың айырмашылығы жоқ, түстері бірдей болғандықтан, олардың алмастыруы маңызды емес, сондықтан: 3612
ПО 2023 Математиĸа Решения, ĸритерии 22.11.2023, 17:07 https://www.mathcha.io/editor/QMBGyFVmFEdfqZCp74dO4IYzKOzimZW0q5IxpxYOn Страница 4 из 15 = 1806. 3612 2 2-тəсіл. Пешкалардың түстері бірдей, сəйкесінше олардың айырмашлығы жоқ, алмастыру маңызды емес. Ешқандай шектеусіз екі бірдей пешканы шахмат тақташасына қоюдың тəсілдерінің санын анықтайық: С = = 2016. 2 64 64 ⋅ 63 2 Есептің шартын қанағаттандырмайтын жағдайларды алып тастайық. Ол үшін пешкалардың көрші болу жағдайларын қарастырайық: 1-жағдай. Пешкалар көлденең көршілес. Онда сол жақтағы пешка шахматтың a позициясынан g позициясына дейінгі кез келген шаршыда орналаса алады. Оң жақтағы пешканың орналасу тəсілі жалғыз болады. Сондықтан əр көлденең жолда 7 түрлі тəсілмен екі пешканы көршілес болатындай орналастыруға болады. Кқлденең жолдардың саны 8 болғандықтан, барлық тəсілдердің саны 8 ⋅ 7 = 56. 2-жағдай. Пешкалар тігінен көршілес орналасқан. 1-жағдайдағыдай, бұл жағдауда да екі пешканың көршілес орналасу тəсілдерінің саны 8 ⋅ 7 = 56. 3-жағдай. Пешкалар қиғашынан көршілес орналасқан. Бұл жағдайда пешкалардың орналасу тəсілдерінің санын келесі əдіспен анықтауға болады. Шахмат тақташасынан 2 × 2 шаршысын алайық. Оны 7 ⋅ 7 = 49 тəсілмен алуға болады. Əр 2 × 2 шаршысында екі шашканы қиғашынан көршілес болатындай орналастыру саны 2 - ге тең: ♟ ♟ ♟ ♟ Бұл жағдайда тəсілдердің саны 49 ⋅ 2 = 98. Демек, пешкалар көлденең, тігінен жəне қиғашынан орналасқандағы тəсілдердің саны: 56 + 56 + 98 = 210. Онда, есептің шарты бойынша, екі пешканың орналасу тəсілдерінің саны: 2016 - 210 = 1806. Бағалау критерийлері