Tiêu đề 9. Chủ đề 9. Số Chính Phương.pdf ✅

1 CHUYÊN ĐỀ 9. SỐ CHÍNH PHƯƠNG Bài 1. (Trích đề học sinh giỏi toán lớp 9 cấp tỉnh Quảng Bình 2023-2024) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho 8 2 9.2 n  là số chính phương. Bài 2. (Trích đề học sinh giỏi toán lớp 9 cấp tỉnh Hà Giang 2023-2024) Cho a,b,c là các số nguyên, đôi một nguyên tố cùng nhau thỏa mãn    2 a c b c c    . Chứng minh tích abc là số chính phương. Bài 3. (Trích đề học sinh giỏi toán lớp 9 cấp tỉnh Khánh Hòa 2023-2024) Chứng minh rằng biểu thức     2 2 C x x y x y z x z y z       4 là một số chính phương với x y z , , là các số nguyên. Bài 4. (Trích đề học sinh giỏi toán lớp 9 cấp tỉnh Kiên Giang 2023-2024) Tìm tất cả các số nguyên a để 2 a a   3 là số chính phương. Bài 5. (Trích đề học sinh giỏi toán lớp 9 cấp tỉnh Bắc Giang 2023-2024) Tìm các số nguyên dương a , b để 2 2 a b a b   4 4 là số chính phương. Bài 6. (Trích đề học sinh giỏi toán lớp 9 cấp TP Hồ Chí Minh 2023-2024) Tìm tất cả các cặp số nguyên tố  p q,  sao cho   2 p q p q    3 là số chính phương. Bài 7. (Trích đề học sinh giỏi toán lớp 9 cấp tỉnh Hải Dương 2023-2024) Cho a b, là các số tự nhiên thỏa mãn 2 2 2 3 a a b b    . Chứng minh rằng 2 2 1 a b   và 3 3 1 a b   đều là các số chính phương. Bài 8. (Trích đề học sinh giỏi toán lớp 9 cấp tỉnh Nghệ An Bảng A 2023-2024) Cho a,b,c,d là các số nguyên biết a 3b c 2d . Chứng minh rằng 2 2 2 2 a 9b c 4d viết được dưới dạng tổng ba số chính phương. Bài 9. (Trích đề học sinh giỏi toán lớp 9 cấp tỉnh Nghệ An Bảng B 2023-2024) Chứng minh rằng 5 2025 n 9n 3 không phải là số chính phương với n là số tự nhiên. Bài 10. (Trích đề học sinh giỏi toán lớp 9 cấp tỉnh Đăk Lắk 2023-2024) Cho a, b là các số nguyên dương thỏa mãn   2 a b a4 ab   là số tự nhiên. Chứng minh rằng: Nếu b là số lẻ thì a là số chính phương. Bài 11. (Trích đề học sinh giỏi toán lớp 9 cấp tỉnh Hà Tĩnh 2023-2024) Cho hai số nguyên dương a,b thóa mãn 2 a 4 b 1   chia hết cho a 2 b 2 b 1     . Chúng minh rằng a 2 b  1à số chinh phương. Bài 12. (Trích đề học sinh giỏi toán lớp 9 cấp tỉnh Tây Ninh 2023-2024) Cho u n n n n n       12 ( 1)( 2)( 3) 1 23 với n nguyên dương.
2 Chứng minh n u là tổng các bình phương của ba số nguyên dương lẻ liên tiếp. Bài 13. (Trích đề học sinh giỏi toán lớp 9 cấp tỉnh Quảng Ngãi 2023-2024) Tìm số tự nhiên n sao cho số 2 n n   2 12 là số chính phương. HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1. Giả sử 8 2 2 9.2 , m N. n    m Khi đó 2 8 2 9.2 n   m 2 2 4 2 2 2 2 3 .(2 ) 48 n      m m 2 ( 48)( 48) n     m m 48 2 48 2 p q m m         , với p q N p q , ,   và p q n   . Suy ra 5 2 2 96 2 (2 1)2 .3 p q q p q     Nhận xét q = 0 không thỏa mãn bài toán.
3 Do p q N p q , , 0    nên 2 1 p q  là số lẻ và 2 q là số chẵn. Suy ra q = 5 và p – q = 2 nên p = 7. Khi đó n = 5 + 7 = 12. Thử lại 12 8 2 2 9.2 80 .   Vây n = 12. Bài 2. Đặt d UC a c;b c      1 a c d b c d       Ta lại có      2 2 2 2 2 c a c b c d c d c d      Từ 1 và 2 suy ra a d và bd Mà a;b 1 nên d  1 Ta lại có    2 a c b c c       a c;b c là hai số chính phương Đặt 2 2 a c m , b c n     với m, n Z    2 2 2 2    c m .n mn  c mn Khi đó 2 2 a m c m mn     2 2 b n c n mn     Ta có      2 2 2 abc m mn n mn .mn abc mn m n          Vậy abc là số chính phương. Bài 3. Ta có:     2 2 C x x y x y z x z y z       4              2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 x xy xz x xy yz zx x xy yz xx x xy xz x xy yz zx x xy xz x xy xz yz                         Do x y z , ,  nên ta có đpcm. Bài 4.
4 a) Đặt   2 2 a a b b     3    2 2 4 4 1 4 11 2 2 1 2 2 1 11 a a b a b a b              Vì 2 2 1;2 2 1 , 2 2 1 2 2 1 a b a b a b a b a b                nên ta xét các TH sau: TH1: 2 2 1 1 2 2 2 1 11 3 a b a a b b                  (TM) TH2: 2 2 1 11 3 2 2 1 1 3 a b a a b b                 (TM) Vậy a  2;3 Bài 5. Ta có 2 2 a b a b   4 4 là số chính phương, suy ra 2 2 2 a b a b m    4 4 (*) với m là một số tự nhiên. Do a , b là các số nguyên dương nên 2 2 2 2 a b a b a b    4 4 , hay   2 2 2 2 m a b ab   (1). Ta thấy nếu ab  1 khi a b; 1; 1     hoặc ab  2 khi a b; 1;2    , 2;1 đều không thỏa mãn 2 2 a b a b   4 4 là số chính phương, nên có ab ab     2 2 0 . Xét hiệu 2 2 m ab ab a b       ( 2) 4 4 4 4 Nếu 4 4 4 4 0 ab a b     thì 2 2 m ab   ( 2) , kết hợp với (1) ta được 2 2 2 ( 2) ( ) ab m ab    Suy ra 2 2 m ab   ( 1) (vì ab  2 0 ) Khi đó ta có 2 2 ( ) 4 4 ( 1) ab a b ab         2ab 4 4 1 a b (vô lý do 2 4 4 ab a b   luôn chẵn). Do đó 2 2 m ab ab a b        ( 2) 4 4 4 4 0      4 4 4 4 0 ab a b .     ( 1)( 1) 2 a b      0 ( 1)( 1) 2 a b (vì a , b là các số nguyên dương) Xét các trường hợp: - TH1: ( 1)( 1) 1 a b    dễ thấy a b; 2; 2     thỏa mãn bài toán. - TH2: ( 1)( 1) 2 a b    ta được dễ thấy a b; 2; 3     , 3; 2 thỏa mãn bài toán. - TH3: ( 1)( 1) 0 a b    suy ra a  1 hoặc b 1. * Với a  1 , từ (*) ta có     2 2 2 2 2 2 b b m b m b m            4 4 2 8 2 8 (2*) Từ (2*) và b nguyên dương ta thấy   * b m m    2 hay b m    2 0 và có (2*)       b m b m 2 . 2 8   