Tiêu đề CHƯƠNG II. ĐƯỜNG TRÒN - DÂY CUNG - TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN.doc ✅

CHƯƠNG II ĐƯỜNG TRÒN – DÂY CUNG – TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Tập hợp các điểm M cách điểm O cho trước một khoảng không đổi R là đường tròn tâm O bán kính R. Kí hiệu ;OR . 2. Đường kính và dây cung + Đoạn thẳng nối 2 điểm nằm trên đường tròn và đi qua tâm của đường tròn gọi là đường kính của đường tròn đó. + Đoạn thẳng nối 2 điểm bất kỳ nằm trên 1 đường tròn gọi là 1 dây của đường tròn đó. Các tính chất cần nhớ: a. Nếu điểm M nằm trên O đường kính AB thì 90AMB , đảo lại: Nếu 90AMB (với A, B cố định) thì điểm M nằm trên đường tròn đường kính AB. b. Trong các dây cung của một đường tròn, đường kính là dây cung lớn nhất. c. Trong một đường tròn, đường vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây đó. d. Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây đó. e. Trong một đường tròn: Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm; hai dây cách đều tâm thi bằng nhau. f. Trong 2 dây của một đường tròn: Dây nào lớn hơn thì gần tâm hơn; dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn. 3. Tiếp tuyến của đường tròn. Đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thằng đó là một tiếp tuyến của đường tròn. Như vậy: + Nếu một đường thẳng và một đường tròn chỉ có một điểm chung thì đường thẳng đó là một tiếp tuyến của đường tròn. + Nếu khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng bằng bán kính của đường tròn thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn. + Qua một điểm ở ngoài đường tròn ta luôn kẻ được 2 tiếp tuyến đến đường tròn đó. Một số tính chất cần nhờ đổi với 2 tiếp tuyến cắt nhau: Từ M nằm ngoài  O dựng các tiếp tuyến MA , MB đến  O ( A , B là các tiếp điểm ). AB cắt MO tại H , đoạn thẳng MO cắt  O tại điểm I. Khi đó ta có: + Tam giác MAB cân tại M . + MO là phân giác của  AMB . + MO vuông góc với AB tại trung điểm H của AB . + I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB . 4. Quan hệ đường thẳng và đường tròn. Để xét qua hệ một đường thẳng  d với đường tròn  ; OR ta phải dựa vào khoảng cách từ tâm O của đường tròn đến đường thẳng. + Nếu khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng  d lớn hơn bán kính thì đường thẳng không cắt đường tròn. + Nếu khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng  d bằng bán kính thì đường thẳng tiếp xúc với đường tròn (lúc này đường thẳng  d gọi là tiếp tuyến của đường tròn). + Nếu khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng  d nhỏ hơn bán kính thì đường thẳng cắt đường tròn tại 2 điểm phân biệt .
+ Từ điểm M nằm ngoài  O ta dựng tiếp tuyến MA, MB đến  O và dựng cát tuyến MCD. Khi đó ta có: 2222MAMBMOR . 5. Quan hệ 2 đường tròn. Để xét quan hệ ( vị trí tương đối ) của 2 đường tròn 11 ; OR và 22 ; OR ta dựa vào khoảng cách 12OO , và các bán kính 12RR . + Hai đường tròn cắt nhau khi và chỉ khi : 112122OO| | + RRRR . + Hai đường tròn tiếp xúc nhau : 2211| |O = ORR hoặc 2112 = OO + RR . + Hai đường tròn không giao nhau : 2112 > OO + RR hoặc 1122O | O | RR . II. MỘT SỐ BÀI TẬP TỔNG HỢP VỀ TIẾP TUYẾN, CÁT TUYẾN, DÂY CUNG CỦA ĐƯỜNG TRÒN. Ví dụ 1. Cho nửa đường tròn  ; OR . Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là AB, dựng các tiếp tuyến Ax, By của nửa đường tròn. Lấy một điểm M trên nửa đường tròn  O . Tiếp tuyến tại M của  O cắt Ax, By lần lượt tại D, C tia AM, BM kéo dài cắt By, Ax lần lượt tại F, E. a, Chứng minh: Các điểm D, M, O, A cùng nằm trên một đường tròn, các điểm C, M, O, B cùng nằm trên một đường tròn. b. Chứng minh: COD△ vuông. c. D là trung điểm AE. d. CBOBAE△△∽ . e. Chứng minh: 2 . ADBCR , ADBCCD . f. Dựng MH vuông góc với AB. Chứng minh: AC, BD đi qua trung điểm I của MH. g. Chứng minh: EOAC . h. Tìm vị trí điểm M để diện tích tam giác MHO lớn nhất. i, Tìm vị trí điểm M để diện tích tam giác MAB lớn nhất, j. Tìm vị trí điểm M để chu vi tam giác MAB lớn nhất. k. Tìm vị trí điểm M để diện tích tứ giác ABCD nhỏ nhất. l. Tìm vị trí điểm M để chu vi tứ giác ABCD nhỏ nhất. Lời giải: a. Vì DA, DM là các tiếp tuyến của  O nên  90DMODAO , suy ra 4 điểm D, M, O, A nằm trên đường tròn đường kính DO. Hoàn toàn tương tự ta có các điểm C, M, O, B nằm trên đường tròn đường kính CO. b. Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: OC, OD lần lượt là phân giác của các góc  MOA ,  MOB nên  1 90 2CODMOCMODBOMCOM hay tam giác COD vuông tại O. c. Do điểm M nằm trên đường tròn đường kính AB nên  90 90AMBEMA . Cũng theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: DADM nên  DAMDMA   90 90 DAMDMADEMDMEDMDE . Vậy DEDADM hay D là trung điểm của AE. Cũng có thể chứng minh theo cách chỉ ra OD là đường trung bình của tam giác EAB. d. Xét tam giác CBO và tam giác BAE ta có:  90CBOBAE . Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: BMCO nên  COBBEA cùng phụ với   . EBACBOBAEgg△△∽ .