Tiêu đề CHƯƠNG II. ĐƯỜNG TRÒN - DÂY CUNG - TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN.doc ✅

CHƯƠNG II ĐƯỜNG TRÒN – DÂY CUNG – TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Tập hợp các điểm M cách điểm O cho trước một khoảng không đổi R là đường tròn tâm O bán kính R. Kí hiệu ;OR . 2. Đường kính và dây cung + Đoạn thẳng nối 2 điểm nằm trên đường tròn và đi qua tâm của đường tròn gọi là đường kính của đường tròn đó. + Đoạn thẳng nối 2 điểm bất kỳ nằm trên 1 đường tròn gọi là 1 dây của đường tròn đó. Các tính chất cần nhớ: a. Nếu điểm M nằm trên O đường kính AB thì 90AMB , đảo lại: Nếu 90AMB (với A, B cố định) thì điểm M nằm trên đường tròn đường kính AB. b. Trong các dây cung của một đường tròn, đường kính là dây cung lớn nhất. c. Trong một đường tròn, đường vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây đó. d. Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây đó. e. Trong một đường tròn: Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm; hai dây cách đều tâm thi bằng nhau. f. Trong 2 dây của một đường tròn: Dây nào lớn hơn thì gần tâm hơn; dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn. 3. Tiếp tuyến của đường tròn. Đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thằng đó là một tiếp tuyến của đường tròn. Như vậy: + Nếu một đường thẳng và một đường tròn chỉ có một điểm chung thì đường thẳng đó là một tiếp tuyến của đường tròn. + Nếu khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng bằng bán kính của đường tròn thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn. + Qua một điểm ở ngoài đường tròn ta luôn kẻ được 2 tiếp tuyến đến đường tròn đó. Một số tính chất cần nhờ đổi với 2 tiếp tuyến cắt nhau: Từ M nằm ngoài  O dựng các tiếp tuyến MA , MB đến  O ( A , B là các tiếp điểm ). AB cắt MO tại H , đoạn thẳng MO cắt  O tại điểm I. Khi đó ta có: + Tam giác MAB cân tại M . + MO là phân giác của  AMB . + MO vuông góc với AB tại trung điểm H của AB . + I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB . 4. Quan hệ đường thẳng và đường tròn. Để xét qua hệ một đường thẳng  d với đường tròn  ; OR ta phải dựa vào khoảng cách từ tâm O của đường tròn đến đường thẳng. + Nếu khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng  d lớn hơn bán kính thì đường thẳng không cắt đường tròn. + Nếu khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng  d bằng bán kính thì đường thẳng tiếp xúc với đường tròn (lúc này đường thẳng  d gọi là tiếp tuyến của đường tròn). + Nếu khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng  d nhỏ hơn bán kính thì đường thẳng cắt đường tròn tại 2 điểm phân biệt .

e. Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: ADDM , . .BCCMADBCDMCM . Mặt khác tam giác COD vuông tại O có OM là đường cao nên theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: 22. CMDMOMR . Vậy 2 . ADBCR và = = ADBCCMDMCD . f. Giả sử BD cắt MH tại I. Theo định lý Thales ta có: IMIBIHIMIH DEDBADDEAD mà DEDAIHIM hay I là trung điểm của HM. Chứng minh tương tự ta cũng có AC đi qua trung điểm I của MH tức là MH, BD, AC đồng quy tại I. Chú ý: Ta cũng có thể chứng minh bằng cách dùng Bổ đề hình thang: “Cho hình thang ABCD có hai cạnh bên là AB, CD cắt nhau tại M, hai đường chéo cắt nhau tại N. Gọi E, F là trung điểm của 2 cạnh đáy BC, AD. Khi đó 4 điểm M, E, N, F cùng nằm trên một đường thẳng” Thật vậy: Giả sử MN cắt BC, AD tại E, F theo định lý Thales ta có: = 1 BECE AFDF (cùng bằng ME MF ). = 2 BECE DFAF (cùng bằng NE NF ). Nhân hai đẳng thức  1 ,  2 Ta có: 22 .AF. BECE DFAFDF suy ra BECE thay  1 vào ta có: AFDF ( đpcm ). g. Theo chứng minh ở câu d) ta có: 1 2 2 AB AEBOAE BAECBO ABBCAOBC△△∽ hay AEAB OAECBAOEAC AOBC△△∽ . Chú ý: Nếu AC cắt  O tại K từ việc chứng minh: OEAC ta suy ra  90EAOEKOEAOEKO△△ ta cũng suy ra EK là tiếp tuyến của  O . h. Tam giác MOH vuông tại H nên ta có: 222211 . 22244MHO MHHOOMR SMHHO  Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi MHHO nên tam giác MHO vuông cân tại H. Tức là M nằm trên nửa đường tròn sao cho OM tạo với AB một góc 45 . i. Ta có 11 . .2 . 22MABSMHABMHRRMH . Trong tam giác vuông MHO ta có: MHMOR nên 2 MABSR . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi HO , MHAB . Hay M là điểm chính giữa của cung AB. j. Chu vi tam giác MAB kí hiệu là 2p thì 2 2pMAMBABMAMBR . Để ý rằng 22222 2 . 2 8MAMBMAMBABR suy ra 22MAMBR . Suy ra 22 22 2 2 1 pRRR . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi MAMB , hay M là điểm chính giữa của cung AB. k. Ta có: 11 ). .2. . 22( ABCDSADBCABRCDRCD . Do 2CDABR nên 2 2 ABCDSR . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi CDAB hay //CDAB khi đó M là điểm chính giữa của cung AB. l. Chu vi tứ giác ABCD bằng q: 2 2 2qADCDBCABCDABCDR mà 2 2CDABR nên chu vi tứ giác ABCD: 2 2 6qCDRR . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi CDAB hay // CDAB khi đó M là điểm chính giữa của cung AB. Ví dụ 2. Xét đường thẳng  d cố định ở ngoài  ; OR (khoảng cách từ O đến  d không nhỏ hơn 2R ). Từ một điểm M nằm trên đường thẳng  d ta dựng các tiếp tuyến MA, MB đến  ; OR (A, B là các
tiếp điểm) và dựng các tuyến MCD (tia MC nằm giữa hai tia MO, MA và MCMD ). Gọi E là trung điểm của CD, H là giao điểm của AB và MO. a. Chứng minh: 5 điểm M, A, E, O, B cùng nằm trên một đường tròn. b. Chứng minh: 222 . MCMDMAMOR . c. Chứng minh: Các tiếp tuyến tại C, D của đường tròn  ; OR cắt nhau tại một điểm nằm trên đường thẳng AB. d. Chứng minh: Đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định. e. Chứng minh: Một đường thẳng đi qua O vuông góc với MO cắt các tia MA, MB lần lượt tại P, Q. Tìm GTNN của MPQS . f. Tìm vị trí điểm M để AB nhỏ nhất. Lời giải: a. Vì MA, MB là các tiếp tuyến của  O nên  90MAOMBO . E là trung điểm của CD nên  90MEO . Từ đó suy ra 5 điểm M, A, E, O, B cùng nằm trên đường tròn đường kính MO. b. Ta có: . MCMDMEECMEED . Mà EDEC nên ta suy ra . - )( MCMDMEECMEEC 22222 - - - MEECMOEOEC 2222222222= - MOECEOMOOCMORMOOAMA đpcm. c. Giả sử các tiếp tuyến tại C, D của  O cắt nhau ở F. Theo a) ta đã chứng minh 5 điểm M, A, E, O, B nằm trên đường tròn đường kính MO, suy ra 4 điểm A, E, O, B cũng nằm trên đường tròn đường kính MO. Hoàn toàn tương tự ta có: C, H, O, D cùng nằm trên đường tròn đường kính OF suy ra  90FHO hay FHHO , mặt khác ta cũng có AHHO F, A, H thẳng hàng. Nói cách khác: Các tiếp tuyến tại CD cắt nhau tại điểm F nằm trên đường thẳng AB. d. Dựng  d OK thì K là điểm cố định và OK có độ dài không đổi. Giả sử AB cắt OK tại điểm I thì  OHIOKMgg△△∽ suy ra ..OIOM OHOMOIOK OHOK . Mặt khác theo hệ thức lượng trong tam giác vuông MAO ta có 22 . OHOMOAR suy ra 2 . OIOKR hay 2 R OI OK suy ra OI không đổi, I nằm trên đường thẳng OK cố định, suy ra điểm I cố định. Vậy đường thẳng AB luôn đi qua điểm I. e. Ta có:  2 O . MPQMOPSSAMPRMAAP . Theo bất đẳng thức AMGM ta có:   2 . MAAPMAAP . Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông MOP thì 22. MAAPOAR Từ đó suy ra 2 2 MPQSR . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi MAAP hay tam giác MOP vuông cân. Suy ra MAOB là hình vuông, tức là 2MOR . f. Ta có 22 2 2 ABAHROH nên AB nhỏ nhất khi và chỉ khi OH lớn nhất. Để ý rằng: 2 R OI OK mà 2OKR và nên 2 2 R OI nên điểm I luôn nằm trong đường tròn (; )OR . Trong tam giác vuông OHI ta có: OHOI nên OH lớn nhất bằng OI khi và chỉ khi HI hay MK .