Tiêu đề Dang 10.DOC ✅

CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 10: Các bài toán suy luận rời rạc, bài toán bất biến: 1. Nguyên lí Dirichlet A. Bài toán Bài 1: Cho hình vuông ABCD và 2018 đường thẳng thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: 1) Mỗi đường thẳng đều cắt hai cạnh đối của hình vuông. 2) Mỗi đường thẳng đều chia hình vuông thành hai phần có tỉ lệ diện tích bằng 1 . 3 Chứng minh rằng trong 2018 đường thẳng đó có ít nhất 505 đường thẳng đồng quy. Bài 2: Trước ngày thi vào lớp 10 chuyên, thầy giáo dùng không quá 49 cây bút đem tặng cho tất cả 32 bạn học sinh lớp 9A sao cho ai cũng nhận được bút của thầy. Chứng minh rằng có một số bạn lớp 9A nhận được bút tổng cộng là 25. B. Lời giải Bài 1: Cho hình vuông ABCD và 2018 đường thẳng thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: 1) Mỗi đường thẳng đều cắt hai cạnh đối của hình vuông. 2) Mỗi đường thẳng đều chia hình vuông thành hai phần có tỉ lệ diện tích bằng 1 . 3 Chứng minh rằng trong 2018 đường thẳng đó có ít nhất 505 đường thẳng đồng quy. Lời giải Giả sử hình vuông ABCD có cạnh là a ( a>0). Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Gọi d là một đường thẳng bất kỳ trong 2018 đường thẳng đã cho thỏa mãn yêu cầu bài toán. Không mất tính tổng quát, giả sử d cắt các đoạn thẳng AD, MP, BC lần lượt tại S, E, K sao cho CDSKABKSS3S Từ CDSKABKSS3S ta suy ra được: DSCK3ASBK 1aASaBK3ASBKASBKa 2 1 EMa 4 suy ra E cố định và d đi qua E. Lấy F, H trên đoạn NQ và G trên đoạn MP sao cho a FNGPHQ 4 . Lập luận tương tự như trên ta có các đường thẳng thỏa mãn điều kiện của đề bài phải đi qua một trong bốn điểm cố định E, F, G, H.
Theo nguyên lý Dirichlet từ 2018 đường thẳng thỏa mãn điều kiện của đề bài phải có ít nhất 2018 1505 4     đường thẳng đi qua một trong bốn điểm E, F, G, Hcố định, nghĩa là 505 đường thẳng đó đồng quy. Bài 2: Trước ngày thi vào lớp 10 chuyên, thầy giáo dùng không quá 49 cây bút đem tặng cho tất cả 32 bạn học sinh lớp 9A sao cho ai cũng nhận được bút của thầy. Chứng minh rằng có một số bạn lớp 9A nhận được bút tổng cộng là 25. Lời giải Gọi ia là số bút mà học sinh thứ I ( trong 32 học sinh ) nhận được ( i = 1,2,..,32). Như vậy *iaN và 1232...49aaa . Ta kí hiệu: 11,Sa 212Saa , ……. 321232...Saaa Với mỗi 1;2;...;32i ta có : 149iS , 2574iS ; 5099iS , 75124iS . Xét 128 số gồm: 32 số nhóm (1) là 1232,,...,SSS , 32 số nhóm (2) là 123225,25,...,25,SSS 32 số nhóm (3) là 123250,50,...,50SSS , 32 số nhóm (4) là 123275,75,...,75SSS , Thấy 128 số này lấy giá trị nguyên dương trong phạm vi từ 1 đến 124, theo nguyên lí Dirichlet tồn tại hai số nào đó trong chúng bằng nhau. Vì 1232...SSS nên dãy 32 giá trị trong mỗi nhóm ở trên tăng dần kể từ trái qua phải. Suy ra tồn tại 1ji mà 12.25.25JJSkSk với 12,0,1,2,3kk và 12kk ( do hai số bằng nhau thì không cùng nhóm). Vì jiSS nên 12025jiSSkk , suy ra 121,2,3kk . Lại có 49jijSSS nên 122549kk , suy ra 121kk . Vậy 25jiSS hay 12...25iijaaa , nghĩa là nhóm gồm các học sinh từ học sinh thứ 1i đến học sinh thứ j nhận được tổng cộng 25 cây bút. 2. Toán rời rạc A. Bài toán Bài 1: Trên một bảng ô vuông, ở mỗi ô người ta điền toàn bộ dấu +. Sau đó thực hiện quá trình đổi dấu ( dấu + sang dấu -, dấu – sang dấu +) lần lượt theo các bước sau: Bước 1: Các ô ở dòng thứ i đều được đổi dấu i lần, ,,...,.i122019 Bước 2: Các ô ở cột thứ j đều được đổi dấu j31 lần, ,,...,.j122019 Tính số dấu còn lại trên bảng ô vuông sau khi thực hiện xong quá trình đổi dấu trên. Bài 2: Viết lên bảng 2019 số: 1111 1;;;...;; 2320182019 . Từ các số đã viết xoá đi 2 số bất kì x, y rồi viết lên bảng số 1 xy xy ( các số còn lại trên bảng giữ nguyên). Tiếp tục thực hiện thao tác trên cho đến khi bảng chỉ còn lại đúng một số. Hỏi số đó bằng bao nhiêu?
Bài 3: Ba bạn A,B,C cùng chơi một trò chơi: Sau khi A chọn hai số tự nhiên từ 1 đến 9 ( có thể giống nhau ), A nói cho B chỉ mỗi tổng và nói cho C chỉ mỗi tích của hai số đó. Sau đây là các câu đối thoại giữa B và C. B nói : Tôi không biết hai số A chọn nhưng chắc chắn C cũng không biết. C nói: Mới đầu thì tôi không biết nhưng giờ thì biết hai số A chọn rồi. Hơn nữa , số mà A đọc cho tôi lớn hơn số của bạn. B nói: À, vậy thì tôi cũng biết hai số A chọn rồi. Xem B và C là các nhà suy luận logic hoàn hảo, hãy cho biết hai số A chọn là hai số nào ? Bài 4: Cho 12 điểm trên mặt phẳng sao cho 3 điểm nào cũng là đỉnh của một tam giác mà mỗi tam giác đó luôn tồn tại ít nhất một cạnh có độ dài nhỏ hơn 673. Chứng minh rằng có ít nhất hai tam giác mà chu vi của mỗi tam giác nhỏ hơn 2019. Bài 5: Trong mặt phẳng, kẻ 2022 đường thẳng sao cho không có hai đường thẳng nào song song và không có ba đường thẳng nào đồng quy. Tam giác tạo bởi ba đường thẳng trong số các đường thẳng đã cho gọi là tan giác đẹp nếu nó không bị đường thẳng nào trong số các đường thẳng còn lại cắt. Chứng minh rằng số tam giác đẹp không ít hơn 674. Bài 6: Cho M là tập tất cả 4039 số nguyên liên tiếp từ 2019 đến 2019 . Chứng minh rằng trong 2021 số đôi một phân biệt được chọn bất kì từ M luôn tồn tại ba số phân biệt có tổng bằng 0 . Bài 7: Có 15 bạn học sinh nam và 15 bạn học sinh nữ ngồi quanh một bàn tròn. Chứng minh rằng luôn tồn tại một học sinh mà 2 bạn ngồi cạnh bạn đó đều là nữ. Bài 8: Chia 18 vật có khối lượng 2016 2 ; 2015 2 ; 2014 2 ; ...; 1999 2 gam thành ba nhóm có khối lượng bằng nhau. (không được chia nhỏ các vật đó). Bài 9: Mỗi điểm của mặt phẳng được tô bởi một trong ba màu Đỏ, Xanh, Vàng. Chứng minh rằng tồn tại hai điểm A , B được tô bởi cùng một màu mà 1.AB Bài 10: Cho tập hợp A gồm 21 phần tử là các số nguyên khác nhau thỏa mãn tổng của 11 phần tử bất kỳ lớn hơn tổng của 10 phần tử còn lại. Biết các số 101 và 102 thuộc tập hợp A. Tìm tất cả các phần tử của tập hợp A. Bài 11: (1.0 điểm) Cho đa giác đều 2n đỉnh nội tiếp đường tròn O . Chia 2n đỉnh này thành n cặp điểm, mỗi cặp điểm này thành một đoạn thẳng (hai đoạn thẳng bất kì trong số n đoạn thẳng được tạo ra không có đầu mút chung). a) Khi 4n , hãy chỉ ra một cách chia sao cho trong bốn đoạn thẳng được tạo ra không có hai đoạn nào có độ dài bằng nhau. b) Khi 10n , chứng minh rằng trong mười đoạn thẳng được tạo ra luôn tồn tại hai đoạn thẳng có độ dài bằng nhau. Bài 12: Xét một thanh gỗ có hai đầu. Một con kiến đi từ đầu này đến đầu kia của thanh gỗ thì mất 5 phút. Khi đi đến một trong hai đầu thì kiến sẽ rơi xuống đất, Bây giờ giả sử trên thanh gỗ đó có 5 con kiến và đi cùng với tốc độ như vậy nhưng về các hướng khác nhau. Nếu có hai con kiến nào đi ngược hướng và đụng đầu nhau thì chúng lập tức quay ngược lại và đi tiếp. (Giả sử rằng kích thước và thời gian quay đầu của các con kiến là không đáng kể) 1. Hãy lý luận để chứng tỏ rằng tất cảcác con kiến thể nào cũng sẽ rơi hết xuống đất. 2. Cần tối thiểu bao nhiêu phút để chắc chắn rằng cả 5 con kiến đều rơi hết xuống đất? Bài 13: Trong mặt phẳng cho 8073 điểm mà diện tích của mọi tam giác với các đỉnh là các điểm đã cho không lớn hơn 1. Chứng minh rằng trong số các điểm đã cho có thể tìm được 2019 điểm nằm trong hoặc nằm trên cạnh của một tam giác có diện tích không lớn hơn 1.
Bài 14: Xét bảng ô vuông cỡ 1010 gồm 100 hình vuông có cạnh 1 đơn vị. Người ta điền vào mỗi ô vuông của bảng một số nguyên tùy ý sao cho hiệu hai số được điền ở hai ô chung cạnh bất kỳ đều có giá trị tuyệt đối không vượt quá 1. Chứng minh rằng tồn tại một số nguyên xuất hiện trong bảng ít nhất 6 lần Bài 15: Trong hình vuông cạnh bằng 1 có 2019 điểm phân biệt. Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn bán kính bằng 1 91 nằm trong hình vuông đó mà không chứa điểm nào trong 2019 điểm đã cho Bài 16: Cho dãy gồm 2015 số: 11111 ;;;...;;. 12320142015 Người ta biến đổi dãy nói trên bằng cách xóa đi hai số u,v bất kỳ trong dãy và viết thêm vào dãy một số có giá trị bằng uvuv vào vị trí của u hoặc v. Cứ làm như thế đối với dãy mới thu được và sau 2014 lần biến đổi, dãy cuối cùng chỉ còn lại một số. Chứng minh rằng giá trị của số cuối cùng đó không phụ thuộc vào việc chọn các số u,v để xóa trong mỗi lần thực hiện việc biến đổi dãy, hãy tìm số cuối cùng đó. Bài 17: Trường trung học phổ thông A tổ chức giải bóng đá cho học sinh nhân ngày thành lập đoàn 26 – 3 . Biết rằng có n đội tham gia thi đấu vòng tròn một lượt (hai đội bất kỳ đấu với nhau đúng một trận). Đội thắng được 3 điểm, đội hòa được 1 điểm và đội thua không được điểm nào. Kết thúc giải, ban tổ chức nhận thấy số trận thắng thua gấp bốn lần số trận hòa và tổng số điểm của các đội là 336. Hỏi có tất cả bao nhiêu đội bóng tham gia? Bài 18: Cho một lớp học có 35 học sinh, các học sinh này tổ chức một số câu lạc bộ môn học. Mỗi học sinh tham gia đúng một câu lạc bộ. Nếu chọn ra 10 học sinh bất kì thì luôn có ít nhất 3 học sinh tham gia cùng một câu lạc bộ. Chứng minh có một câu lạc bộ gồm ít nhất 9 học sinh. B. Lời giải Bài 1: Trên một bảng ô vuông, ở mỗi ô người ta điền toàn bộ dấu +. Sau đó thực hiện quá trình đổi dấu ( dấu + sang dấu -, dấu – sang dấu +) lần lượt theo các bước sau: Bước 1: Các ô ở dòng thứ i đều được đổi dấu i lần, ,,...,.i122019 Bước 2: Các ô ở cột thứ j đều được đổi dấu j31 lần, ,,...,.j122019 Tính số dấu còn lại trên bảng ô vuông sau khi thực hiện xong quá trình đổi dấu trên. Lời giải Theo quá trình đổi dấu trên thì ô vuông ở dòng i cột j được đổi dấu ij31 lần Mà ij31 và ij hai số không cùng tính chẳn lẻ (vì ijijj3121 là số lẻ) Do đó những ô vuông ở dòng i cột j mà ij là số lẻ sẽ đổi dấu một số chẵn lần và dấu ở ô vuông đó vẫn là dấu +, còn những ô vuông ở dòng i cột j mà ij là số chẵn sẽ đổi dấu một số lẻ lần và dấu ở ô vuông đó là dấu – Mà từ 1 đến 2019 có 1009 số chẵn và 1010 số lẻ nên số cặp ;ij mà ij bằng 1009.1010+1010.1009=2038180 Vậy số các ô vuông còn lại mang dấu + bằng 2038180.