Tiêu đề 2. PP Hệ thức lượng trong tam giác-GV.pdf ✅

https://tuikhon.edu.vn Tài liệu word chuẩn. ĐT: 0985029569 ST và BS: nhóm GV tuikhon.edu.vn CHỦ ĐỀ 2: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT. I. Các hệ thức lượng trong tam giác vuông: Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao. Ta có các hệ thức sau: 2 2 2 BC AB AC   2 AB BH BC  . 2 AC CH BC  . 2 AH HB HC  . AH BC AB AC . .  2 2 2 1 1 1 AH AB AC   AC BC B  .sin ; AB BC C  .sin AC BC C  .cos ; AB BC B  .cos AB AC tgC AC cotgB   . . AC AB tgB AB cotgC   . . II. Các hệ thức lượng trong tam giác: 1. Định lí côsin: Trong tam giác ABC với BC a AC b , và AB c . Ta có : a b c bc A b c a ca B c a b ab C 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 .cos 2 .cos 2 .cos Hệ quả: b c a A bc c a b B ca a b c C ab 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos 2 cos 2 cos 2 b) Định lí sin : Trong tam giác ABC với BC a AC b , , AB c và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp. Ta có : a b c R A B C 2 sin sin sin c) Diện tích tam giác Với tam giác ABC ta kí hiệu a b c h h h , , là độ dài đường cao lần lượt tương ứng với các cạnh BC, CA, AB; R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác; a b c p 2 là nửa chu vi tam giác; S là diện tích tam giác. Khi đó ta có: S = a b c ah bh ch 1 1 1 2 2 2 = bc A ca B ab C 1 1 1 sin sin sin 2 2 2 = abc 4R = pr = p p a p b p c ( )( )( ) (công thức Hê–rông) c a b A B C Hình 2.6
https://tuikhon.edu.vn Tài liệu word chuẩn. ĐT: 0985029569 ST và BS: nhóm GV tuikhon.edu.vn B. VÍ DỤ MINH HỌA Vấn đề 1. CÁC BÀI TOÁN VỀ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG Bài toán: Cho biết một số yếu tố của tam giác vuông. Tính các yếu tố còn lại Phương pháp: Dùng các hệ thức lượng trong tam giác vuông Ví dụ 1: Cho ABC vuông tại A, AH là đường cao và có BH AC   1, 2 5. Tính AB BC AH , , . Lời giải Ta có: 2 CA CB CH CH CH HB    . ( )  20 ( 1)   CH CH  CH  4  BC BH HC      1 4 5 2 AB BH BC  .  AB  5 . 2. AB AC AH BC   Ví dụ 2: Tam giác ABC vuông tại A có đường cao 12 cm 5 AH  và 3 4 AB AC  . Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Lời giải Tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH    2 AB AC AH . .   Mặt khác 3 3 4 4 AB AB AC AC    thế vào , ta được 2 3 12 8 3 2 . 4 5 5 AC AC          Suy ra 3 8 3 6 3 2 2 . 2 3. 4 5 5 AB BC AB AC       Vậy bán kính cần tìm là 3 . 2 BC R cm   Ví dụ 3: Cho ABC vuông tại A, có đường cao AH ( H ở trên BC). Tính AH CH BH BC ,,, nếu biết AB  3, AC  4. Lời giải Ta có: 2 2 2 1 1 1 1 1 25 AH AB AC 9 16 144       2 144 25 AH   12 5 AH  Xét AHC: 2 2 2 AC AH HC    222 HC AC AH    2 144 256 16 25 25 HC     16 5 HC  ABH : 2 2 2 144 225 144 81 9 25 25 5 BH AB AH         9 5 BH  Ta có: 2 2 2 BC AB AC      9 16 25  BC  5. Ví dụ 4: Cho hình thang ABCD với đường cao AB. Biết rằng AD a  3 , BC a  4 , BDC   90 . Tính AB, CD, AC. Lời giải Vẽ DH BC  ( H ở trên BC) thì ADHB là hình chữ nhật nên BH AD a   3
https://tuikhon.edu.vn Tài liệu word chuẩn. ĐT: 0985029569 ST và BS: nhóm GV tuikhon.edu.vn và AB DH  Xét tam giác vuông BDC, ta có: 2 2 DH HB HC HB BC BH a a a a       . ( ) 3 (4 3 ) 3  DH a  3  AB DH a   3 Ta lại có: 2 2 DC CH CB a a a    . .4 4 Suy ra DC a  2 . Ta lại có: 2 2 2 2 AC AB BC a a a      3 16 19. Ví dụ 5: Cho ABC vuông tại C, CD là đường cao, DA  9, DB 16. Tính CD AC BC , , . Lời giải Ta có: 2 DC DA DB     . 9 16 144  DC 12 Ta có: 2 AC AB AD    . 25 9  AC    5 3 15 Ta có: 2 CB AB DB     . 25 16 400  CB  20. Ví dụ 6: Cho ABC vuông tại A, AB  3, AC  4, AH là đường cao ( ). H BC  Gọi I là điểm thuộc cạnh AB sao cho AI BI  2 , CI cắt AH tại E. Tính CE. Lời giải Vẽ IK BC  , ta có BC  5. Ta có: 2 BA BH BC  .  2 9 5 BA BH BC   Ta có:  vuông BKI ∽  vuông BHA  1 3 BK BI BH BA    3 3 5 BH BK   Và 3 22 5 5 5 CK CB BK      Ta có: 1 1 12 4 . 3 3 5 5 IK AH    2 2 2 1 1 1 12 5 vì AH AH AB AC           IKC: 2 2 2 2 16 22 20 25 5 CI IK KC             CI  2 5 Ta lại có: 2 AH BH HC  .  2 144 25 144 16 9 5.9 5 5 AH HC BH      vuông CHE ∽  vuông CKI nên ta có: CE CH CI CK   . 16 5 . 11 CI CH EC CK   Ví dụ 7: Cho ABC vuông tại A, 2 . 3 AB AC  Đường cao AH  6. Tính HB HC AB AC , , , . Lời giải Ta có: 2 3 AB AH AC HC   (vì   ABC HCA ∽ )
https://tuikhon.edu.vn Tài liệu word chuẩn. ĐT: 0985029569 ST và BS: nhóm GV tuikhon.edu.vn  3 9 2 HC AH   Ta lại có: 2 3 AB BH AC AH    2 2 .6 4 3 3 HB AH    AB BH BC     . 4(4 9) 2 13 AC CH BC    . 9.13 3 13. Ví dụ 8: Cho ABC vuông tại C, AD là đường phân giác trong, BD x  , CD y  . Tính AB BC AC , , . Lời giải Ta có: BC a x y    Vì AD là phân giác nên ta có: c x b y   2 2 2 2 c x b y   2 2 2 2 2 2 c b x y b y     2 2 2 2 2 a x y b y    2 2 2 2 2 2 y x y y x y ( ) ( ) b x y x y        . x y b y x y    ; x x y c b x y x y     Vậy: BC x y   ; x y AC y x y    ; . x y AB x x y    Ví dụ 9: Cho nửa đường tròn đường kính AB R  2 , m chạy trên đường tròn, đặt BAM , tiếp tuyến tại M cắt AB tại N. Hãy tính các cạnh của tam giác AMN. Lời giải Ta có: cos AM AB    AM R  2 cos tg2 MN OM    MN R  tg2 cos 2 OM ON    cos 2 R ON    1 cos 2 . cos 2 cos 2 R AN R R              Ví dụ 10: Cho hình thang vuông ABCD, đường cao AB. Ngoại tiếp đường tròn đường kính r, cho . 3 C   Tính các cạnh của hình thang. Lời giải