Tiêu đề Chương 8_Bài 3_ _Lời giải_Toán 10_CTST.pdf ✅

BÀI 3. NHỊ THỨC NIU-TƠN A. KIẾN THỨC CẦN NẮM Các công thức khai triển nhị thức Newton cho 4 ( ) a b + và 5 ( ) a b + : 4 0 4 1 3 2 2 2 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 3 2 2 3 4 5 0 5 1 4 2 3 2 3 2 3 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 4 3 2 2 3 4 5 ( ) 4 6 4 ( ) 5 10 10 5 . + = + + + + = + + + + + = + + + + + = + + + + + a b C a C a b C a b C ab C b a a b a b ab b a b C a C a b C a b C a b C ab C b a a b a b a b ab b Chú ý: Các hệ số trong khai triển nhị thức Newton với n = 1⁄4 0;1;2;3; tạo thành tam giác Pascal. B. CÁC VÍ DỤ RÈN LUYỆN KĨ NĂNG Ví dụ 1. Khai triển 4 ( 3) x + . Giải Áp dụng công thức khai triển của 4 ( ) a b + với a x b = = , 3 , ta có 4 4 3 2 2 3 4 4 3 2 ( 3) 4 3 6 3 4 3 3 12 54 108 81. x x x x x x x x x + = + × + × + × + = + + + + Ví dụ 2: Khai triển   5 3 2 x - Giải                      5 5 4 3 2 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 5 5 5 5 5 5 3 2 3 3 2 3 2 3 2 3 2 2 x C x C x C x C x C x C - = + - + - + - + - + - 5 4 3 2 = - + - + - 243 2430 1080 720 240 32 x x x x x Ví dụ 3. Hãy sử dụng ba hạng tử đầu tiên trong khai triển của 5 (3 0,02) - để tính giá trị gần đúng của 5 2,98 . Xác định sai số tuyệt đối của giá trị gần đúng nhận được. Giải Ta có 5 5 2,98 (3 0,02) = - . Sử dụng công thức khai tiền 5 ( ) a b + , áp dụng cho a b = = - 3, 0,02 , ta thu được: 5 5 5 4 3 2 2,98 (3 0,02) 3 5 3 ( 0,02) 10 3 ( 0,02) 243 405 0,02 270 0,0004 243 8,1 0,108 235,008 = - = + × × - + × × - +1⁄4 = - × + × +1⁄4 = - + +1⁄4 » Bằng máy tính, ta kiềm tra được rằng giá trị đúng là 235,0072823968. Như vậy, sai số tuyệt đối của giá trị gần đúng nhận được trên đây là | 235,0072823968 235,008 | 0,0007176032. - = Ví dụ 4: Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển thành đa thức biến x của 4 1 3 x ? 4 4 æ ö ç ÷ + è ø Hướng dẫn giải
Ta có: 4 1 3 1 3 27 27 27 2 3 4 x x x x x . 4 4 256 64 128 64 256 æ ö ç ÷ + = + + + + è ø Vậy hệ số lớn nhất là 27 . 64 C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA Câu 1. Sử dụng công thức nhị thức Newton, khai triển các biểu thức sau: a. 4 (3 ) x y + b. 5 ( 2) x - Lời giải a. 4 (3 ) x y + 0 4 1 3 2 2 2 3 3 4 4 4 4 4 4 4 = + × × + × × + × × + × C x C x y C x y C x y C y (3 ) (3 ) (3 ) 3 4 3 2 2 3 4 = + + + + 81 108 54 12 x x y x y xy y b. 5 ( 2) x - 0 5 1 4 5 2 3 4 3 2 5 4 4 5 5 5 5 5 = + × × - + × × - + × × - + × × - C x C x C x C x C x ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) 5 5 5 + × × - C x ( 2) 5 4 4 3 = + - + - + - x x x x x 20 2 40 40 2 20 4 2 Câu 2. Khai triển và rút gọn các biểu thức sau: a. 4 (2 2) + b. 4 4 (2 2) (2 2) + + - c. 5 (1 3) - Lời giải 4 0 4 1 3 2 2 2 3 3 4 4 4 4 4 4 4 (2 2) 2 2 ( 2) 2 ( 2) 2 ( 2) ( 2) + = + × + × + × + C C C C C = + + + + 16 32 2 48 16 2 4 = + 68 48 2 b. 4 4 (2 2) (2 2) + + - 0 4 1 3 2 2 2 3 3 4 4 4 4 4 4 4 = + × + × + × + C C C C C 2 2 ( 2) 2 ( 2) 2 ( 2) ( 2) 0 4 1 3 2 2 2 3 3 4 4 4 4 4 4 4 + + × - + × + × - + C C C C C 2 2 ( 2) 2 ( 2) 2 ( 2) ( 2) = + + 68 48 2 0 = + + + + + - + - + 16 32 2 48 16 2 4 16 32 2 48 16 2 4 = + + 32 96 8 =136 c. 5 0 5 1 4 2 3 2 5 5 5 (1 3) 1 1 ( 3) 1 ( 3) - = + × - + × - C C C 3 2 3 4 4 5 5 5 5 5 + × - + × - + - C C C 1 ( 3) 1 ( 3) ( 3) = - + - + - 1 5 3 30 30 3 45 9 3 = - 76 44 3 Câu 3. Tìm hệ số của 3 x trong khai triển 5 (3 2) x - Lời giải 5 0 5 1 4 2 3 2 3 2 3 5 5 5 5 (3 2) (3 ) (3 ) ( 2) (3 ) ( 2) (3 ) ( 2) x C x C x C x C x - = + × - + × - + × - 4 4 5 5 5 5 + × - + - C x C (3 ) ( 2) ( 2) 5 4 3 2 = - + - + - 243 810 1080 720 240 32 x x x x x Hệ số 3 x trong khai triển 5 (3 2) x - là 1080 Câu 4. Chứng minh rằng: 0 1 2 3 4 5 5 5 5 5 5 5 C C C C C C - + - + - = 0
Lời giải 0 1 2 3 4 5 5 5 5 5 5 5 C C C C C C - + - + - = 0(*)       0 5 4 1 2 3 5 5 5 5 5 5 VT C C C C C C (*) = - + - + -       0 0 1 1 2 2 = - + - + - C C C C C C 5 5 5 5 5 5 = + + 0 0 0 = = 0 (*) VP Þ đpcm Câu 5. Cho A a a a a a =  1 2 3 4 5 ; ; ; ;  là một tập hợp có 5 phần tử. Chứng minh rằng số tập hợp con có số lẻ (1;3;5) phần tử của A bằng số tập hợp con có số chẵn (0;2;4) phần tử của A . Lời giải Tập hợp A có 5 phần tử. Mỗi tập con của A có k phần tử (1 5) £ £ k là một tổ hợp chập k của A . - Tập con số lẻ 1 phần tử của A là một tổ hợp chập 1 của 5 Þ Có: 1 C5 - Tập con số lẻ 3 phần tử của A là một tổ hợp chập 3 của 5 Þ Có: 3 C5 - Tập con số lẻ̉ 5 phần tử của A là một tổ hợp chập 5 của 5 Þ Có: 5 C5 Þ Số tập con có số lẻ (1;3;5) phần tử của A bằng: 1 3 5 C C C 5 5 5 + + - Tập con số chẵn 0 phần tử của A là một tổ hợp chập 1 của 5 0 Þ C5 - Tập con số chẵn 2 phần tử của A là một tổ hợp chập 3 của 5 2 Þ C5 - Tập con số chẵn 4 phần tử của A là một tổ hợp chập 5 của 5 4 Þ C5 Þ Số tập con có số chẵn (0;2;4) phần tử của A bằng: 0 2 4 5 5 5 C C C + + (2) Có: 1 4 3 2 5 0 5 5 5 5 5 5 C C C C C C = = = ; ; (3) Từ (1); (2) và (3) Þ số tập hợp con có số lẻ (1;3;5) phần tử của A bằng số tập hợp con có số chẵn (0;2;4) phần tử của A (đpcm) D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1. Trong khai triển nhị thức Niu-tơn của   4 a b + có bao nhiêu số hạng? A. 6 . B. 3 . C. 5 . D. 4 . Lời giải Chọn C Trong khai triển nhị thức Niu-tơn của   4 a b + có 4 1 5 + = số hạng. Câu 2. Trong khai triển nhị thức Niu-tơn của   4 2 3 x - có bao nhiêu số hạng? A. 6 . B. 3 . C. 5 . D. 4 . Lời giải Chọn C Trong khai triển nhị thức Niu-tơn của   4 2 3 x - có 4 1 5 + = số hạng. Câu 3. Trong khai triển nhị thức Niu-tơn của   4 a b + , số hạng tổng quát của khai triển là A. 1 5 4 k k k C a b - - . B. 4 4 k k k C a b - . C. 1 5 1 4 k k k C a b + - + . D. 4 4 4 k k k C a b - - . Lời giải Chọn B
Số hạng tổng quát của khai triển   4 a b + là 4 4 k n k k k k k C a b C a b n - - = . Câu 4. Trong khai triển nhị thức Niu-tơn của   4 2 3 x - , số hạng tổng quát của khai triển là A. 4 4 4 2 3 . k k k k C x - - . B.   4 4 4 2 3 . k k k k C x - - - . C. 4 4 4 2 3 . k k k k C x - - . D.   4 4 4 2 3 . k k k k C x - - - . Lời giải Chọn B Số hạng tổng quát của khai triển   4 2 3 x - là       4 4 4 4 4 2 3 2 3 . k k k k k k k C x C x - - - - = - . Câu 5. Tính tổng các hệ số trong khai triển nhị thức Niu-tơn của   4 1 2 - x . A. 1. B. -1. C. 81. D. -81. Lời giải Chọn A Tổng các hệ số trong khai triển nhị thức Niu-tơn của   4 2 3 x - chính là giá trị của biểu thức   4 2 3 x - tại x =1. Vậy   4 S = - = 1 2.1 1. Câu 6. Trong khai triển nhị thức Niu-tơn của   4 1 3 + x , số hạng thứ 2 theo số mũ tăng dần của x là A. 108x . B. 2 54x . C. 1. D. 12x . Lời giải Chọn D Ta có     4 4 4 4 4 0 0 1 3 3 3 k k k k k k k x C x C x = = + = = å å . Do đó số hạng thứ 2 theo số mũ tăng dần của x ứng với k =1, tức là 1 1 4 C x x 3 12 = . Câu 7. Tìm hệ số của 2 2 x y trong khai triển nhị thức Niu-tơn của   4 x y + 2 . A. 32 . B. 8 . C. 24 . D. 16 . Lời giải Chọn C Ta có     4 4 4 4 4 4 4 0 0 2 2 .2 . k k k k k k k k k x y C x y C x y - - = = + = = å å . Số hạng chứa 2 2 x y trong khai triển trên ứng với 4 2 2 2 k k k ì - = í Û = î = . Vậy hệ số của 2 2 x y trong khai triển của   4 x y + 2 là 2 2 4 C .2 24 = . Câu 8. Tìm số hạng chứa 2 x trong khai triển nhị thức Niu-tơn của     4 2 P x x x x = + - 4 2 . A. 2 28x . B. 2 -28x . C. 2 -24x . D. 2 24x . Lời giải Chọn B Ta có     4 2 P x x x x = + - 4 2     4 4 2 4 2 5 4 4 0 0 4 2 4 2 k k k k k k k k x x C x x C x - - = = = + - = + - å å .