Tiêu đề Bài 3_Lời giải.pdf ✅

BÀI GIẢNG DẠY THÊM TOÁN 9 -KẾT NỐI TRI THỨC PHIÊN BẢN 2025-2026 1 BÀI 3. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH A. CÁC VÍ DỤ Nhận xét. các bước giải một bài toán bẳng cách lập hệ phương trình: Bước 1. Lập hệ phương trình: - Chọn ẩn số (thường chọn hai ẩn số) và đặt điều kiện thích hợp cho các ẩn số; - Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết; - Lập hệ phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng. Bước 2. Giải hệ phương trình. Bước 3. Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm tìm được của hệ phương trình, nghiệm nào thoả mãn, nghiệm nào không thoả mãn diều kiện của ẩn, rổi kết luận. Ví dụ 1. Tìm hai só́tự nhiên có tőng bằng 1 006, biết rằng nếu lấy số lớn chia cho số nhỏ thì được thương là 2 và số dư là 124 . Lời giải - Gọi hai số cần tìm là x và y , trong đó x y < . Số dư trong phép chia y cho x là 124 nên x >124 . Vậy điều kiện của hai ẩn là x y, Î¥ và 124 < 0 và y > 0. Mối ngày đội I làm được 1 x (công việc) và đội II làm được 1 y (công việc). Mới ngày đội I làm được nhiểu gấp rưỡi đội II nên ta có phương trình 1 1 1,5 x y = × hay   1 3 1 1 x y 2 = × . Hai đội làm chung trong 24 ngày thì xong công việc nên mối ngày, hai đội làm chung thì được 1 24 (công việc). Ta
BÀI GIẢNG DẠY THÊM TOÁN 9 -KẾT NỐI TRI THỨC PHIÊN BẢN 2025-2026 2 có phương trình   1 1 1 2 x y 24 + = . Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình (I) 1 3 1 2 1 1 1 24 x y x y ì = × ï í ï + = î - Nếu đặt 1 u x = và 1 v y = thì ta có hệ phương trình bậc nhất hai ẩn mới là u và v : (II)     3 3 2 1 4 24 u v u v ì = ï í ï + = î Giải hệ (II): Thế 3 2 u v = vào phương trình (4), ta được 3 1 2 24 v v + = , hay 5 1 2 24 v = , suy ra 1 60 v = . Do đó 3 3 1 1 2 2 60 40 u v = = × = . Từ đó, ta có: 1 1 40 u x = = suy ra 1 1 40; 60 x v y = = = suy ra y = 60. - Các giá trị tìm được của x và y thoả mãn diều kiện của ẩn. Trả lời: Nếu làm một mình thì đội I làm xong đoạn đường đó trong 40 ngày, còn đội II làm xong trong 60 ngày. C. CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1. Toán về quan hệ giữa các số 1. Phương pháp giải Biểu diễn số có hai chữ số: ab a b = + 10 a là chữ số hàng chục: 0 9 < £ a , a N Î b là chữ số hàng đơn vị: 0 9 £ £ b , b N Î - Biểu diễn số có ba chữ số: abc a b c = + + 100 10 a là chữ số hàng trăm, b là chữ số hàng chục và c là chữ số hàng đơn vị. 2. Các ví dụ Ví dụ 1. Tìm hai số tự nhiên, biết rằng tổng của chúng bằng 1006 và nếu lấy số lớn chia cho số nhỏ thì được thương là 2 và số dư là 124. Giải Gọi hai số tự nhiên cần tìm là x , y ( x là số lớn). Theo để bài ta có hệ phương trình:     1006 1 2 124 2 x y x y ì + = ï í ï = + î Thay (2) và (1): 3 124 1006 294 y y + = Û =
BÀI GIẢNG DẠY THÊM TOÁN 9 -KẾT NỐI TRI THỨC PHIÊN BẢN 2025-2026 3 Từ đó x =172 . Vậy hai số tự nhiên cần tìm là 712 và 294 . Ví dụ 2: Tổng các chữ số của một số là có hai chữ số bằng 6 . Nếu thêm vào số đó 18 đơn vị thì số thu được cũng viết bằng các chữ số đó nhưng theo thứ tự ngược lại. Hãy tìm số đó. Giải: Gọi chữ số hàng chục là x , chữ số hàng đơn vị là y : 0 , 9, < £ x y x y N , Î Theo đề bài ta có: 6 18 x y xy yx ìï + = í ïî + = Û 6 10 18 10 x y x y y x ì + = í î + + = + Û 6 9 9 18 x y x y ì + = í î - = - Û 6 2 x y x y ì + = í î - = - Û 2 4 x y ì = í î = Vậy số cần tìm là 24 . Dạng 2: Toán Làm Chung Công Việc 1. Phương pháp giải • Toán làm chung công việc có ba đại lượng tham gia toàn bộ công việc, phần làm việc trong một đơn vị thời gian (năng suất), thời gian. 1. Năng suất làm việc: đưa về một đơn vị thời gian (chẳng hạn: 1 ngày, 1 giờ, ...) Nếu một đội làm xong công việc trong x ngày thì một ngày đội đó làm được 1 x công việc. Xem toàn bộ công việc là 1. 2. Các ví dụ Ví dụ 1. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn (không có nước) thì sau 4 4 5 giờ đầy bể. Nếu lúc đầu chỉ mở vòi thứ nhất và 9 giờ sau mới mở thêm vòi thứ hai thì sau 6 5 giờ nữa mới đầy bể. Hỏi nếu ngay từ đầu chỉ mở vòi thứ hai thì sau bao lâu mới đầy bể? Giải: Ta có 4 4 5 giờ = 24 5 giờ. Gọi x (giờ) là thời gian để vòi thứ nhất chảy đầy bể ( x > 0 ) ; y (giờ) là thời gian để vòi thứ hai chảy đầy bể ( y > 0). Trong một giờ vòi thứ nhất chảy được 1 x bể, vòi thứ hai chảy được 1 y bể. Hai vòi cùng chảy đầy bể sau 24 5 giờ nên 1 giờ cả hai cùng chảy được 5 24 bể. Ta có phương trình : 1 1 5 x y 24 + = (1) Trong 9 giờ, vòi thứ nhất chảy được 9 x bể và 6 5 giờ, hai vòi cùng chảy được 6 1 1 5 x y æ ö ç ÷ + è ø bể nên ta có phương trình : 9 6 1 1 1 x x y 5 æ ö + + = ç ÷ è ø (2)
BÀI GIẢNG DẠY THÊM TOÁN 9 -KẾT NỐI TRI THỨC PHIÊN BẢN 2025-2026 4 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình : 1 1 5 24 9 6 1 1 1 5 x y x x y ì + = ï í æ ö ï + + = ç ÷ î è ø Đặt 1 1 u y, x y = = . Ta có hệ :   5 24 6 9 1 5 u v u u v ì + = ï í ï + + = î Û 5 24 51 6 5 u v u v ì ï + = í ï î + = Û 1 12 1 8 u v ì = ï í ï = î Û 12 8 x y ì = í î = Vậy nếu ngay từ đầu chỉ mở vòi thứ hai thì sau 8 giờ sẽ đầy bể. Ví dụ 2. Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm 3 giờ và người thứ hai làm 6 giờ thì chỉ hoàn thành được 25% công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc đó trong bao lâu ? Giải : Ta có 1 25% 4 = . Gọi x (giờ) là thời gian người thứ nhất hoàn thành công việc  x > 0 ; y (giờ) là thời gian người thứ hai hoàn thành xong công việc  y > 0 . Trong 1 giờ người thứ nhất hoàn thành được 1 x công việc, người thứ hai hoàn thành được 1 y công việc. Hai người cùng làm công việc trong 16 giờ thì trong một giờ hai người cùng làm được 1 16 công việc. Ta có hệ phương trình : 1 1 1 16 3 6 1 4 x y x y ì + = ï í ï + = î Giải hệ phương trình ta được x y = = 24; 48 . Vậy nếu làm riêng thì người thứ nhất hoàn thành công việc trong 24 giờ và người thứ hai hoàn thành công việc trong 48 giờ. Ví dụ 3 : Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một bể nước cạn (không có nước) thì bể sẽ đầy trong 1 giờ 20 phút. Nếu mở vòi thứ nhất trong 10 phút và vòi thứ hai trong 12 phút thì chỉ được 2 15 bể nước. Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì thời gian để mỗi vòi chảy đầy bể là bao nhiêu ? Giải : Ta có : 1 giờ 20 phút = 80 phút. Gọi x (phút) là thời gian vòi thứ nhất chảy riêng một mình đầy bể và y (phút) là thời gian vòi thứ hai chảy riêng một mình đầy bể  x y, 0 > . Trong một phút vòi thứ nhất chảy được 1 x bể và vòi thứ hai chảy được 1 y bể. Ta có hệ phương trình :