Tiêu đề Giải chi tiết - Đề 222 DT - 1651.pdf ✅

GIẢI TÍCH HCMUT Biên soạn: ĐẶNG TIẾN QUANG GIẢI CHI TIẾT ĐỀ CUỐI KỲ HK 222 DT - MÃ ĐỀ 1651 PHẦN 1: 25 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Cho mặt cong S có phương trình z = f(x, y) = 26y √ x. Hãy trả lời các câu hỏi từ Câu 1 đến Câu 4. Câu 1. Tìm câu trả lời sai khi tính các đạo hàm của hàm f tại điểm (25, 5): A. fy = 130 B. fx = 13 C. fxx = − 26 5 D. fyy = 0 E. fxy = 13 5 Hướng dẫn Câu 1: fx = 26y. 1 2 √ x , fx(25, 5) = 13 fy = 26√ x, fy(25, 5) = 130 fxx = (fx)x, fxx(25, 5) = d dx 26 × 5 × 1 2 √ x x=25 = −0.26 6= − 26 5 ⇒ chọn C Câu 2. Độ dốc lớn nhất của mặt cong S tại điểm (25, 5, 650) là: A. √ 101 B. Một đáp án khác C. 13√ 101 D. 13√ 33 E. √ 33 Hướng dẫn Câu 2: Độ dốc lớn nhất = k∇f(25, 5)k = q f 2 x + f 2 y = √ 132 + 1302 = 13√ 101 ⇒ chọn C Cần nhớ: Độ dốc = Hệ số góc của tiếp tuyến = Tốc độ thay đổi = Đạo hàm Tốc độ thay đổi của f theo hướng vector −→u (a, b) là D−→u f = fx.a + fy.b √ a 2 + b 2 Tốc độ thay đổi của f theo hướng vector −→u đạt giá trị lớn nhất khi −→u = k∇f, k > 0 ( −→u %% ∇f) Tốc độ thay đổi lớn nhất của f = k∇fk Câu 3. Tiếp diện của mặt cong S tại điểm (25, 5, 650) có phương trình là: A. z = 13x + 130y + 650 B. z = 13x + 130y + 325 C. z = 13x + 130y − 650 D. z = 13x + 130y − 325 E. Một đáp án khác. Hướng dẫn Câu 3: Phương trình mặt phẳng tiếp diện của S tại điểm (25, 5, 650) là: z − 650 = 13(x − 25) + 130(y − 5) ⇔ z = 13x + 130y − 325 ⇒ chọn D Cần nhớ: Tiếp diện của mặt z = f(x, y) tại điểm (x0, y0, z0) có phương trình là: z − z0 = fx(x0, y0)(x − x0) + fy(x0, y0)(y − y0) Câu 4. Trên giao tuyến của mặt cong S và mặt phẳng x = 13, điểm thấp nhất có tung độ là: A. 5 B. 130. C. Một đáp án khác. D. 25 E. 26 Hướng dẫn Câu 4: Giao tuyến: ( z = 26y √ x x = 13 ⇔ ( x = 13 z = 26√ 13y . Hàm z = 26√ 13y không có cực trị ⇒ chọn C h Fanpage: www.facebook.com/giaitich.hcmut/ Trang 1

GIẢI TÍCH HCMUT Hướng dẫn Câu 7: _ OA : x 2 + y 2 = 10x ⇔ r 2 = 10.r cos φ ⇒ r = 10 cos φ _ AB : x 2 + y 2 = 10y ⇔ r 2 = 10.r sin φ ⇒ r = 10 sin φ Giao điểm A : ( x 2 + y 2 = 10x x 2 + y 2 = 10y ⇒ xA = yA ⇒ OA : y = x ⇒ φ = π 4 D : ( π/4 ≤ φ ≤ π/2 10 cos φ ≤ r ≤ 10 sin φ ⇒ chọn C Câu 8. Diện tích miền D (bỏ qua đơn vị tính) bằng giá trị nào dưới đây? A. 27.3456 B. Một đáp án khác C. 50 D. 22.6544 E. 25 Hướng dẫn Câu 8: S(D) = Z Z D 1 dxdy = π/2 Z π/4 dφ 10 sin Z φ 10 cos φ r dr = π/2 Z π/4 1 2 102 sin2 φ − 102 cos2 φ dφ = 25 ⇒ chọn E Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho khối Ω giới hạn bởi x 2 +y 2 +z 2 ≤ 50, z ≥ p x 2 + y 2, y ≥ x √ 3. Hãy trả lời các câu hỏi từ Câu 9 đến Câu 14. Câu 9. Trong tọa độ trụ x = r cos φ, y = sin φ, z = z, khối Ω được mô tả bởi: A. π/3 ≤ φ ≤ 4π/3, 0 ≤ r ≤ 5, r ≤ z ≤ √ 5 − r 2 B. −2π/3 ≤ φ ≤ π/3, 0 ≤ r ≤ 5, 0 ≤ z ≤ √ 5 − r 2 C. −2π/3 ≤ φ ≤ π/3, 0 ≤ r ≤ 5, r ≤ z ≤ √ 5 − r 2 D. Các câu khác sai. E. π/3 ≤ φ ≤ 4π/3, 0 ≤ r ≤ 5, 0 ≤ z ≤ √ 5 − r 2 Hướng dẫn Câu 9: Giao tuyến: ( x 2 + y 2 + z 2 = 50 z = p x 2 + y 2 ⇔ ( x 2 + y 2 = 25 z = 5 Dxy : ( x 2 + y 2 ≤ 25 y ≥ x √ 3 ⇔ Dxy : ( 0 ≤ r ≤ 5 π/3 ≤ φ ≤ 4π/3 p x 2 + y 2 ≤ z ≤ p 50 − x 2 − y 2 ⇔ r ≤ z ≤ √ 50 − r 2 ⇒ chọn A h Fanpage: www.facebook.com/giaitich.hcmut/ Trang 3
GIẢI TÍCH HCMUT Câu 10. Biết khối lượng riêng tại mỗi điểm (x, y, z) ∈ Ω là ρ(x, y, z) = p x 2 + y 2, khối lượng của khối Ω (bỏ qua đơn vị tính) bằng: A. 423.9626 B. Một kết quả khác C. 269.903 D. 280.189 E. 560.378 Hướng dẫn Câu 10: m(Ω) = Z Z Z Ω ρ(x, y, z) dV = Z Z Z Ω p x 2 + y 2 dxdydz = 4π/3 Z π/3 dφ Z 5 0 r dr √ 50−r 2 Z r r dz = 4π/3 Z π/3 dφ Z 5 0 r 2 p 50 − r 2 − r dr = π Z 5 0 r 2 p 50 − r 2 − r dr = 280.1889917 ⇒ chọn D Câu 11. Tính tích phân trên Ω của hàm f(x, y, z) = p x 2 + y 2 + z 2 bằng cách đổi sang tọa độ cầu x = ρ sin θ cos φ, y = ρ sin θ sin φ, z = ρ cos θ, tích phân có dạng I = Z φ2 φ1   Z θ2 0   ρ(φ,θ) Z 0 f(φ, θ, ρ) dρ   dθ   dφ. Các cận: φ1, φ2, θ2, ρ(φ, θ) và hàm f(φ, θ, ρ) theo thứ tự là: A. − 2π 3 , π 3 , π 4 , 5 √ 2, ρ2 sin θ B. Một đáp án khác C. π 3 , 4π 3 , π 4 , 5, ρ3 sin θ D. π 3 , 4π 3 , π 4 , 5 √ 2, ρ3 sin θ E. π 3 , 4π 3 , π 3 , 5 √ 2, ρ3 sin θ Hướng dẫn Câu 11: Góc φ trong tọa độ cầu giống với góc φ trong tọa độ trụ ⇒ φ1 = π 3 , φ2 = 4π 3 z = p x 2 + y 2 : tan θ2 = p x 2 + y 2 z = 1 ⇒ θ2 = π 4 x 2 + y 2 + z 2 = 50 ⇔ ρ 2 = 50 ⇒ ρ = √ 50 = 5√ 2 f(φ, θ, ρ) = p ρ 2.ρ2 sin θ = ρ 3 sin θ ⇒ chọn D Câu 12. Giá trị của tích phân I ở câu trên bằng: A. 108.4409 B. Một kết quả khác C. 54.2204 D. 575.0945 E. 813.3064 Hướng dẫn Câu 12: I = 4π/3 Z π/3   π/4 Z 0   5 √ Z 2 0 ρ 3 sin θ dρ   dθ   dφ = 4π/3 Z π/3   π/4 Z 0 5 4 sin θ dθ   dφ = 4π/3 Z π/3 5 4 1 − √ 2 2 ! dφ = 575.09944903 ⇒ chọn D h Fanpage: www.facebook.com/giaitich.hcmut/ Trang 4