Nội dung text Bài 2.1_Dãy số_Vở bài tập.pdf
1 CHƢƠNG 2: DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN BÀI 1: DÃY SỐ A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. Dãy số là gì ? Khái niệm dãy số: Hàm số u xác định trên tập hợp các số nguyên dương * được gọi là một dãy số vô hạn (hay gọi tắt là dãy số), nghĩa là : n u n u u n Dãy số trên được kí hiệu là un . Dạng khai triển của dãy số un là: 1 2 ; ; ; ; n u u u Chú ý: a) u u 1 1 gọi là số hạng đầu, u u n n gọi là số hạng thứ n (hay số hạng tổng quát) của dãy số. b) Nếu n u C với mọi n , ta nói un là dãy số không đổi. Hàm số u xác định trên tập hợp M m 1;2;3; ; thì được gọi là một dãy số hữu hạn. Dạng khai triển của dãy số này là 1 2 , , , m u u u , trong đó 1 u là số hạng đầu và m u là số hạng cuối. 2. Cách xác định dãy số Thông thường một dãy số có thể được cho bằng các cách sau: Cách 1: Liệt kê các số hạng (với các dãy số hữu hạn). Cách 2: Cho công thức của số hạng tổng quát n u . Cách 3: Cho hệ thức truy hồi, nghĩa là Cho số hạng thứ nhất 1 u (hoặc một vài số hạng đầu tiên); Cho một công thức tính n u theo n 1 u (hoặc theo vài số hạng đứng ngay trước nó). Cách 4: Cho bằng cách mô tả. 3. Dãy số tăng, dãy số giảm Cho dãy số un . Dãy số un được gọi là dãy số tăng nếu * 1 , n n u u n . Dãy số un được gọi là dãy số giảm nếu * 1 , n n u u n . 4. Dãy số bị chặn Dãy số ( n u ) được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho * , . n u M n Dãy số un được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho * , . n u m n Dãy số un được gọi là dãy số bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, nghĩa là tồn tại các số M
2 và m sao cho * , . m u M n n B. PHÂN LOẠI VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1. Tìm số hạng của dãy số 1. Phƣơng pháp Một dãy số có thể cho bằng: - Liệt kê các số hạng (chỉ dùng cho các dãy hữu hạn và có ít số hạng); - Công thức của số hạng tồng quát; - Phương pháp mô tả; - Phương pháp truy hồi. 2. Các ví dụ Ví dụ 1. Cho dãy số ( n u ) xác định bởi ( 1) 2 1 n n n u n . Tìm 5 số hạng đầu tiên của dãy số. Lời giải ........................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................ Ví dụ 2. Cho dãy số n u , từ đó dự đoán n u a) 1 n n 1 n u 5 u : u u 3 ; b) 1 n n 1 n u 3 u : u 4u Lời giải ........................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................ Ví dụ 3. Cho dãy số n u , từ đó dự đoán n u a) 1 n n 1 n u 1 u : u 2u 3 ; b) 1 n 2 n 1 n u 3 u : u 1 u Lời giải ........................................................................................................................................................................................
3 ........................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................ Dạng 2. Tính tăng giảm của dãy số 1. Phƣơng pháp (un) là dãy số tăng un+1 > un, n N*. un+1 – un > 0 , n N* 1 1 n n u u ,n N* ( un > 0). (un) là dãy số giảm un+1 < un với n N*. un+1 – un< 0 , n N* 1 1 n n u u , n N* (un > 0). 2. Các ví dụ Ví dụ 1. Xét tính đơn điệu của dãy số sau: a) 2 3 n u n b) 2 n n n u Lời giải ........................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................ Ví dụ 2. Xét tính đơn điệu của dãy số sau: a) 2 1 n n u n b) 1 n n n u n Lời giải ........................................................................................................................................................................................
4 ........................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................ Ví dụ 3. Xét tính đơn điệu của dãy số sau: a) 1 2 n u n b) 1 1 n n u n Lời giải ........................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................ Ví dụ 4. Xét tính đơn điệu của các dãy số sau: a) 2 1 5 2 n n u n b) 2 2 5 n u n Lời giải ........................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................