Tiêu đề Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Chuyên đề 13 - KHỐI TỨ DIỆN VÀ KHỐI CHÓP.doc ✅

Trang 1 Chuyên đề 13:KHỐI TỨ DIỆN VÀ KHỐI CHÓP 1.KIẾN THỨC TRỌNG TÂM - Hình chóp tam giác , tứ giác,... - Hình chóp đều: đáy đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau. Trung đoạn của hình chóp đều là đoạn nối đỉnh với trung điểm của cạnh đáy. Hình chóp đều thì hình chiếu của đỉnh chóp là tâm của đáy. Thể tích khối chóp: 1 . 3VBh Thể tích hình chóp cụt: 11221 3VSSSSh Tỉ số thể tích 2 khối chóp tam giác: ''.''''''' .;.. ()(.) SABCVSABCABACSASBSC SABCABACVSABCSASBSC Chú ý: 1) Tứ diện hay hình chóp tam giác có 4 cách chọn đỉnh chóp. 2) Tứ diện nội tiếp hình hộp, tứ diện gần đều (có 3 cặp cạnh đối bằng nhau) nội tiếp hình hộp chữ nhật và tứ diện đều nội tiếp hình lập phương. 3) Khi tính toán các đại lượng, nếu cần thì đặt ẩn rồi tìm phương trình để hướng dẫn giải ra ẩn đó. Để tính diện tích, thể tích có khi ta tính gián tiếp bằng cách chia nhỏ các phần hoặc lấy phần lớn hơn trừ đi các phần dư hoặc dùng tỉ số. 4) Thể tích khối lăng trụ: V = B.h. 2. CÁC BÀI TOÁN Bài toán 13. 1: Tứ diện OABC có cạnh OA, OB, OC vuông góc với nhau từng đôi một và có OA = a, OB = b, OC= c. Gọi ,, lần lượt là góc hợp bởi các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB) với (ABC). a) Chứng minh rằng 222coscoscos1 b) Tính diện tích tam giác HAB, HBC và HCA. Hướng dẫn giải Gọi H là hình chiếu vuông góc của đỉnh O xuống mặt phẳng (ABC) thì H là trực tâm của tam giác ABC với 3 đường cao AA', BB', C C'. a) Ta có ^ ','OAAOBB
Trang 2  'OCC nên ^^ coscos'sin'OH OAAOAA a Tương tự cos,cos.OHOH bc Từ hệ thức 222 2222222 1111 1OHOHOH OHabcabc Vậy 222coscoscos1 b) Ta có: 222222 abc OH abbcca   và .cosHBCOBCSS nên: 22 222222 2HBC bc S abbcca   . Tương tự: 2222 222222222222 ; 22HABHAC abca SS abbccaabbcca   Bài toán 13. 2: Tứ diện OABC có OA = OB = OC = a và AOB  = AOC  = 60°, BOC  = 90° a) Chứng minh ABC là tam giác vuông và OA  BC. b) Tìm đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng OA và BC. Chứng minh (ABC) vuông góc (OBC). Hướng dẫn giải a) Vì A ^ O B = A ^ O C = 60°, OA = OB = OC = a nên AB = AC = a. Suy ra  ABC =  OBC. Vậy tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi J là trung điểm cùa BC thì OJ  BC, AJ  BC nên OA  BC. b) Gọi I là trung điểm của OA, vì OJ = AJ nên IJ  OA, do đó IJ là đoạn vuông góc chung của OA và BC 2 2 2 2222 2242 aaaa IJOJOIIJ    . Ta có OJ  BC, AJ  BC, IJ = 1 2 OA nên tam giác OAJ vuông tại I. Do đó góc giữa mp(OBC) và mp(ABC) là góc OJA= 90°. Vậy mp(OBC)  mp(ABC).
Trang 3 Bài toán 13. 3: Tính thể tích khối tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối bằng nhau: AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c. Hướng dẫn giải Dựng tứ diện APQR sao cho B, C, D lần lượt là trung điểm các cạnh QR, RP, PQ. Ta có 1 2ADBCPQ 1 2PAQQ mà D là trung điểm của PQ .AQAP Chứng minh tương tự, ta cũng có AQ  AR, AR  AP. Ta có: 111 ...AR 446ABCDAPQRVVAPAQ Xét các tam giác vuông APQ, AQR, ARP ta có: 222222222 4,4,4APAQcAQARaARAPb Suy ra: 2222222,2APabcAQabc 222 AR2abc Vậy: 2222222222 12ABCDVabcabcabc Bài toán 13. 4: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, có độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi M và N lần lượt là các trung điểm của các cạnh SB và SC. Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC). Hướng dẫn giải: Gọi K là trung điểm của BC và ISKMN . Từ giả thiết suy ra 1 ,// 22 a MNBCMNBC , suy Ra I là trung điểm của SK và MN. Ta có SABSAC nên hai trung tuyến tương ứng AM = AN, do đó  AMN cân tại A, suy ra AI  MN. Mà (SBC)  (AMN)  AI  (SBC) => AI  SK.
Trang 4 Do đó SAK cân tại A, suy ra SA = AK 3 2 a  Ta có 222 2223 442 aaa SKSBBK nên: 2 22 222310 2484 SKaaa AISASISA    Vậy: 2 110 . 216AMN a SMNAI (đvđt) Bài toán 13.5: Cho hình chóp O.ABC có các cạnh bên OA = a, OB = b, OC = c và chúng vuông góc với nhau từng đôi một: a) Tính thể tích hình chóp O.ABC. b) Tính chiều cao OH và diện tích tam giác ABC. Hướng dẫn giải a) Ta có AO  OB và AO  OC do đó OA  (OBC) nên hình chóp O.ABC có thể coi là hình chóp A.OBC với đáy là OBC và đường cao là AO Do đó: 1 . 36OBC abc VSOA (đvtt) b) Hạ OH  (ABC) thì H là trực tâm của đáy. Ta có: 222222 22222222 111111 ' bcacab OHaOAabcabc   Do đó: 222222 abc OH abbcac   Và 222222 13 . 32ABCABC Vabbcac VSOHS OH   (đvtt) Bài toán 13. 6: Cho hình chóp S.ABC mà mỗi mặt bên là một tam giác vuông, SA = SB = SC = a. Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC; D là điểm đối xứng của s qua E; I là giao điềm của đường thẳng AD với mặt phẳng (SMN) a) Chứng minh rằng AD vuông góc với SI. b) Tính theo a thể tích của khối tứ diện MBSI. Hướng dẫn giải a) Ta có SA  (SBC) => SA  BD.