Tiêu đề 40 bài TLN - Ứng dụng đạo hàm.pdf ✅

PHẦN E. TRẢ LỜI NGẮN Câu 1. Trong 5 giây đầu tiên, một chất điểm chuyển động theo phương trình 3 2 s t t t t ( ) 6 5 = - + + + trong đó t tính bằng giây và s tính bằng mét. Chất điểm có vận tốc tức thời lớn nhất bằng bao nhiêu trong 5 giây đầu tiên đó? Trả lời:........................ Lời giải Ta có: 2 v t s t t t ( ) ( ) 3 12 1 ¢ = = - + + . Nhận xét: v t( ) có đồ thị là một parabol nên trong 5s đầu tiên vận tốc tức thời cúa chất điểm đạt giá trị lớn nhất bằng 13 tại t s = 2 . Câu 2. Một tên lửa bay vào không trung với quãng đường đi được là s t km ( )( ) là hàm phụ thuộc theo biến t (giây) tuân theo biểu thức sau: 2 3 3 1 ( ) 2 ( ) t t s t e te km + + = + . Hỏi vận tốc của tên lửa sau 1 giây là bao nhiêu (biết hàm biểu thị vận tốc là đạo hàm cấp một của hàm biểu thị quãng đường theo thời gian)? Trả lời:........................ Lời giải 2 3 3 1 3 1 4 4 4 4 ( ) ( ) 2 2 6 (1) 2 2 6 10 ( / ) t t t v t s t te e te v e e e e km s ¢ + + + = = + + Þ = + + = Câu 3. Một vật được phóng thẳng đứng lên trên từ độ cao 2 m với vận tốc ban đầu là 24,5 / m s . Trong Vật lí, ta biết rằng khi bỏ qua sức cản của không khí thì độ cao h (mét) của vật sau t (giây) được cho bởi công thức 2 h t t t ( ) 2 24,5 4,9 . = + - Hỏi sau bao nhiêu giây thì vật đạt độ cao lớn nhất? Trả lời:........................ Lời giải Xét hàm số: 2 h t t t ( ) 2 24,5 4,9 = + - . Tập xác định của hàm số là ¡ . Ta có: 5 ( ) 9,8 24,5; ( ) 0 9,8 24,5 0 2 h t t h t t t ¢ ¢ = - + = Û - + = Û = Bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên ta có: Hàm số đạt cực đại tại 5 2 t =
Vậy thời điểm vật đạt độ cao lớn nhất là 5 2 t = giây Câu 4. Giả sử doanh số (tính bằng số sản phẩm) của một sản phẩm mới (trong vòng một số năm nhất định) tuân theo quy luật logistic được mô hình hoá bằng hàm số 5000 ( ) , 0, 1 5 t f t t e - = 3 + trong đó thời gian t được tính bằng năm, kể từ khi phát hành sản phẩm mới. Khi đó, đạo hàm f t( ) ¢ sẽ biểu thị tốc độ bán hàng. Hỏi sau khi phát hành bao nhiêu năm thì tốc độ bán hàng là lớn nhất? Trả lời:........................ Lời giải Ta có:       2 2 5000 1 5 25000 ( ) 1 5 1 5 t t t t e e f t e e ¢ - - ¢ - - - + = = + + Tốc độ bán hàng là lớn nhất khi f t( ) ¢ lớn nhất. Đặt   2 25000 ( ) 1 5 t te h t e - - = + .         2 4 25000 1 5 2 5 1 5 25000 ( ) 1 5 t t t t t t e e e e e h t e ¢ - - + - × - × + × = +              4 3 3 25000 1 5 1 5 10 25000 1 5 1 5 1 5 25000 1 5 1 ( ) 0 0 1 5 0 ln 5( ) 5 1 5 t t t t t t t t t t t t t e e e e e e e e e e h t e e t tm e - - - - - - - - - - ¢ - - - - + + - - - = = + + - - = Û = Û - = Û = Û = + Ta có bảng biến thiên với t Î +¥ [0; ) : Vậy sau khi phát hành khoảng ln 5 1,6 » năm thì thì tốc độ bán hàng là lớn nhất. Câu 5. Từ một tấm bìa carton hình vuông có độ dài cạnh bằng 60 cm , người ta cắt bốn hình vuông bằng nhau ở bốn góc rồi gập thành một chiếc hộp có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp. Tính cạnh của các hình vuông bị cắt sao cho thể tích của chiếc hộp là lớn nhất.
Trả lời:........................ Lời giải Gọi x cm( ) là độ dài cạnh của các hình vuông nhỏ được cắt ở bốn góc của tấm bìa. Điều kiện: 0 30 < và chiều cao là h cm h ( , 0) > Diện tích bề mặt của hình hộp là 2 108 cm nên 2 2 108 4 108 ( ) 4 x x xh h cm x- + = Þ = Thể tích của hình hộp là:   2 3 2 2 3 108 108 . 4 4 x x x V x h x cm x- - = = × = Ta có: 2 3 108 , 0 6 4 x V V x ¢ ¢ - + = = Û = (do x > 0 ) Bảng biến thiên:
Do đó, thể tích của hình hộp là lớn nhất khi độ dài cạnh đáy x cm = 6 Khi đó, chiều cao của hình hộp là: 2 108 6 3( ) 4.6 cm - = . Câu 7. Từ một tấm bìa hình chữ nhật có chiều rộng 30 cm và chiều dài 80 cm (Hình a), người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông có cạnh x cm( ) với 5 10 £ £x và gấp lại để tạo thành chiếc hộp có dạng hình hộp chữ nhật không nắp như Hình b, tìm x để thể tích chiếc hộp là lớn nhất (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm). Trả lời:........................ Lời giải Thể tích chiếc hộp là: 2 3 V x x x x x x x ( ) (30 2 )(80 2 ) 2400 220 4 = - - = - + với 5 10 £ £x . Ta có: 2 V x x x ( ) 12 440 2400 ¢ = - + ; 20 ( ) 0 3 V x x ¢ = Û = hoặc x = 30 (loại vì không thuộc [5;10]); 20 200000 (5) 7000; ; (10) 6000. 3 27 V V V æ ö = = = ç ÷ è ø 17 Do đó [5;10] 200000 max ( ) 27 V x = khi 20 3 x = . Vậy để thể tích chiếc hộp là lớn nhất thì 20 3 x cm = . Câu 8. Cho một tấm nhôm có dạng hình vuông cạnh 6dm . Bác Ánh cắt ở bốn góc bốn hình vuông cùng có độ dài bằng x dm( ), rồi gập tấm nhôm lại như Hình để được một cái hộp có dạng khối hộp chữ nhật không có nắp. Gọi V là thể tích của khối hộp đó tính theo x . Tìm x dm( ) để khối hộp tạo thành có thể tích lớn nhất. Trả lời:........................ Lời giải