Tiêu đề Chương 8_Bài 5_ _Đề bài_Toán 11_CTST.pdf ✅

BÀI 5. GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG. GÓC NHỊ DIỆN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. Góc giữa đườ̀ng thẳng và mặt phẳng Định nghĩa Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng ( ) P thì ta nói góc giữa đường thẳng a với ( ) P bằng 90° . Nếu đường thẳng a không vuông góc với ( ) P thì góc giữa a và hình chiếu a¢ của a trên ( ) P gọi là góc giữa đường thẳng a và ( ) P . Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng ( ) P được kí hiệu là ( ,( )) a P . Chú ý: a) Góc a giữa đường thẳng và mặt phẳng luôn thoả mãn 0 90 ° £ £ ° a . b) Nếu đường thẳng a nằm trong ( ) P hoặc a song song với ( ) P thì a P,( ) 0  = ° . Ví dụ 1. Cho hình chóp S ABCD . có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh SA a = 6 và vuông góc với đáy. Tính: a) Góc giữa đường thẳng BC và ( ) SAB ; b) Góc giữa đường thẳng BD và ( ) SAD ; c) Góc giữa đường thẳng SC và ( ) ABCD . Giải a) Ta có SA ABCD ^ ( ), suy ra BC SA ^ . Ta lại có BC AB ^ , suy ra BC SAB ^ ( ) , suy ra góc giữa đường thẳng BC và ( ) SAB bằng 90° . b) Ta có SA ABCD ^ ( ), suy ra BA SA ^ . Ta lại có BA AD ^ , suy ra BA SAD ^ ( ) . Vậy AD là hình chiếu của BD trên ( ) SAD . Nếu gọi j là góc giữa đường thẳng BD và ( ) SAD thì j = = = ° ( , ) 45 BD AD BDA  (vì tam giác ABD vuông cân tại A ). c) Ta có SA ABCD ^ ( ), suy ra AC là hình chiếu của SC trên ( ) ABCD . Nếu gọi j¢ là góc giữa đường thằng SC và ( ) ABCD thì j¢ = = ( , ) SC CA SCA . Trong tam giác SCA vuông tại A , ta có  6 tan 3 2 SA a SCA AC a = = = , suy ra góc giữa đường thẳng SC và ( ) ABCD bằng 60° . Cho hình lập phương ABCD A B C D . ¢ ¢ ¢ ¢ . Tính góc giữa các đường thẳng sau đây với mặt phẳng ( ) ABCD : a) AA¢ ; b) BC¢ ; c) A C¢ . Lời giải
a) Vì AA ABCD ¢ ^   nên góc giữa đường thẳng AA¢ và ABCD là 90o b) CC ABCD ¢ ^   nên C là hình chiếu vuông góc của C¢ lên ABCD. Suy ra góc giữa BC' và ABCD là C BC ¢ = 45o (Vì BCCC¢ ' là hình vuông) c) Gọi cạnh của hình lập phương là a Ta có:  1 2, tan 2 AC a ACA = =¢ nên ACA¢ = 35o AA ABCD ¢ ^   nên A là hình chiếu vuông góc của A' lên (ABCD) Suy ra góc giữa A C¢ và ABCD là ACA¢ = 35o Một tấm ván hình chữ nhật ABCD được dùng làm mặt phẳng nghiêng để kéo một vật lên khỏi hố sâu 2 m . Cho biết AB AD = = 1 m, 3,5 m . Tính góc giữa đường thẳng BD và đáy hố. Lời giải Ta có: 2 2 33 2, 2 DK CH AK AD DK = = = - = 2 2 37 2 BK AK AB = + = tan DK DBK KB = . Nên DBK = 43, 4o Góc giữa đường thẳng BD và đáy hố là 43, 4o 2. Góc nhị diện và góc phẳng nhị diện Góc nhị diện Định nghĩa Cho hai nửa mặt phẳng P1  và Q1  có chung bờ là đường thẳng d . Hình tạo bởi P Q 1 1 ,  và d được gọi là góc nhị diện tạo bởi P1  và Q1 , kí hiệu P d Q 1 1 , , .
Hai nửa mặt phẳng P Q 1 1 ,  gọi là hai mặt của nhị diện và d gọi là cạnh của nhị diện. Chú ý: a) Hai mặt phẳng cắt nhau theo giao tuyến d tạo thành bốn góc nhị diện. b) Góc nhị diện P d Q 1 1 , ,  còn được ki hiệu là M d N , ,  với M N, tương ứng thuộc hai nửa mặt phẳng P Q 1 1 , . Góc phẳng nhị diện Định nghĩa Góc phẳng nhị diện của góc nhị diện là góc có đỉnh nằm trên cạnh của nhị diện, có hai cạnh lần lượt nằm trên hai mặt của nhị diện và vuông góc với cạnh của nhị diện. Chú ý: a) Đối với một góc nhị diện, các góc phẳng nhị diện đều bằng nhau. b) Nếu mặt phẳng ( ) R vuông góc với cạnh d của góc nhị diện và cắt hai mặt P Q 1 1 ,  của góc nhị diện theo hai nửa đường thẳng Ou và Ov thì uOv  là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện tạo bởi P Q 1 1 , . c) Góc nhị diện có góc phẳng nhị diện là góc vuông được gọi là góc nhị diện vuông. d) Số đo góc phẳng nhị diện được gọi là số đo góc nhị diện. e) Số đo góc nhị diện nhận giá trị từ 0° đến 180° . Ví dụ 2. Cho hình lập phương ABCD A B C D × ¢ ¢ ¢ ¢ cạnh a . Xác định và tính góc phẳng nhị diện: a) A BD A , , ¢; b) C BD A , , ¢. Giải a) Gọi O là tâm của hình vuông ABCD . Ta có OA BD ^ và OA BD ¢ ^ , suy ra AOA¢ là góc phẳng nhị diện A BD A , , ¢. Trong tam giác AOA¢ vuông tại A , ta có: tan 2 54,7   2 2 AA a A OA A OA AO a = ¢ ¢ ¢ = = Þ » o b) Ta có OC BD ^ và OA BD ¢ ^ , suy ra A OC ¢ là góc phẳng nhị diện C BD A , , ¢. Ta có A OC A OA ¢ ¢ =180 125,3 - »  ° o .
Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD . với O là tâm của đáy và có tất cả các cạnh đều bằng a . Xác định và tính góc phẳng nhị diện: a) S BC O , , ; b) C SO B , , . Lời giải a) Kẻ SH BC ^ Mà BC SO ^ nên BC SOH ^   . Suy ra OH BC ^ . Do đó S BC O SHO , ,  =  Ta có: 2 , 2 2 a a OH OC OB = = = 2 2 2 2 2 2 a a SO a æ ö = - = ç ÷ è ø tan 2  SH SHO OH = = . Suy ra SHO = 54,7o Vậy S BC O , , 54,7  = o b) Vì SO ABCD ^   nên SO OB SO OC ^ ^ , Suy ra C SO B BOC , , 90  = =  o Cho biết kim tự tháp Memphis tại bang Tennessee (Mỹ) có dạng hình chóp tứ giác đều với chiều cao 98 m và cạnh đáy 180 m. Tính số đo góc nhị diện tạo bởi mặt bên và mặt đáy. (Nguổn: https://en.wikipedia.org/wiki/Memphis_Pyramid)