Tiêu đề HH8 C3 B5.1 HINH THOI.docx ✅

1 HH8 C3 B5. HÌNH THOI A. Tóm tắt lý thuyết 1. Định nghĩa: Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau ABCD là hình thoi ABCD ABBCCDDA     2. Tính chất: Hình thoi có tất cả các tính chất của hình bình hành - Tính chất về cạnh: +) Có bốn cạnh bằng nhau +) Các cạnh đối song song - Tính chất về góc: Các góc đối bằng nhau - Tính chất về đường chéo: +) Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường +) Hai đường chéo vuông góc với nhau +) Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc ở đỉnh của hình thoi 3. Dấu hiệu nhận biết - Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi - Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi - Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi - Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc ở đỉnh là hình thoi 4. Chú ý: - Hình thoi có 1 tâm đối xứng là giao điểm của hai đường chéo - Hình thoi có hai trục đối xứng là các đường chéo của hình thoi 5. Cách vẽ hình thoi Có bốn cách vẽ hình thoi nhưng hay dùng nhất là hai cách sau Cách 1: Vẽ một đường chéo, dựng đường trung trực của đường chéo đó, nối hai đầu đường chéo với hai giao điểm của hai cung tròn vừa vẽ thu được bốn đỉnh của hình thoi Cách 2: Sử dụng lưới ô vuông để vẽ hai đường chéo vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường D C B A D C B A
2 B. Bài tập và các dạng toán Dạng 1: Chứng minh 1 tứ giác là hình thoi I. Cách giải: Vận dụng các dấu hiệu nhận biết để chứng minh 1 tứ giác là hình thoi II. Bài toán Bài 1.1: Cho ΔABC nhọn, tia phân giác BAC cắt BC tại .E Từ E kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC tại .F Từ E kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB tại .D Chứng minh ADEF là hình thoi. ( Hình 3) Lời giải Tứ giác ADEF có ,ADEFDEAF∥∥ nên là hình bình hành. Lại có đường chéo AE là tia phân giác góc DAF Nên là hình thoi. Bài 1.2: Cho hình bình hành ABCD có .ADAC Gọi ,MN lần lượt là trung điểm của ,.ABCD ( Hình 1) a) Chứng minh .MNAC b) Tứ giác AMCN là hình gì? Lời giải a) ABCD là hình bình hành nên 11 22ABDCABDC AMBMDNCN Tứ giác AMCN có ,AMNCAMNC∥ nên là hình bình hành. Lại có ΔADC vuông tại A có AN là đường trung tuyến nên 1 2ANDCDNCN Hình bình hành AMCN có hai cạnh kề bằng nhau nên là hình thoi, khi đó hai đường chéo ,ACMN vuông góc với nhau b) Tứ giác AMCN là hình thoi. Bài 1.3: Cho hình bình hành ABCD . Hai đường chéo ,ACBD cắt nhau tại .O Đường thẳng m đi qua O cắt ,ABCD lần lượt tại M và .P Đường thẳng n đi qua O và vuông góc với m cắt cạnh BC và DA lần lượt tại N và .Q ( Hình 9) a) Chứng minh MNPQ là hình bình hành. b) Chứng minh MNPQ là hình thoi. Lời giải Hình 3 D F E A B C Hình 1 ND M C BA Hình 9 O P Q M N A B CD n m
3 a) ABCD là hình bình hành nên hai đường chéo ,ACBD Cắt nhau tại O là trung điểm của mỗi đường Xét ΔOBM và ΔODP có: OBOD (giả thiết)  OBMODP (so le trong)  BOMDOP (đối đỉnh) ΔOBMΔODP (g.c.g) OMOP (hai cạnh tương ứng) Chứng minh tương tự ΔOAQΔOCNgcgOQON (hai cạnh tương ứng) MNPQ có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành. b) Hình bình hành MNPQ có hai đường chéo MPNQ nên là hình thoi. Bài 1.4: Cho hình thoi ABCD . Lấy ,EF trên BC và CD sao cho .BEDF Gọi ,GH lần lượt là giao điểm của ,AEAF với .BD Chứng minh AGCH là hình thoi. ( Hình 11) Lời giải Ta có ABCD là hình thoi nên ACBD tại trung điểm của mỗi đường nên BD là trung trực của AC ,GAGCHAHC 1 và AC là trung trực của BD,AGAHCGCH 2 Từ 1,2AGGCCHHA nên AGCH là hình thoi. Bài 1.5: Cho tam giác ABC cân tại A . Hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H . Đường thẳng AH cắt EF tại D , cắt BC tại G . Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của G trên ,ABAC . Chứng minh rằng tứ giác DNGM là hình thoi. Lời giải Ta có ABEACF (cạnh huyền – góc nhọn) ,AEAFBEBF Vì H là trực tâm của ABCAH là đường cao, đồng thời là đường trung tuyến, từ đó ta có GBGC và DEDF Xét EBC có //GNBEAC và GBGCNENC Chứng minh tương tự ta được MFMB Dùng định lí đường trung bình của tam giác ta chứng minh được //DMGN và DMGN DNGM là hình bình hành Mặt khác, DMDN (cùng bằng một nửa của hai cạnh bằng nhau) nên DNGM là hình thoi. H D F M BGC N E A Hình 11 F E G H B D CA
4 Bài 1.6: Cho tam giác ABC , điểm D thuộc cạnh AB , điểm E thuộc cạnh AC sao cho BDCE . Gọi ,,,IKMN theo thứ tự là trung điểm của ,,,BECDBCDE . Chứng minh rằng tứ giác MNIK là hình thoi. Lời giải Ta có: 11 22KNNIIMMKBDCE MNIK là hình thoi (dấu hiệu nhận biết) Bài 1.7: Cho hình bình hành ABCD có AC vuông góc với AD . Gọi ,EF theo thứ tự là trung điểm của các cạnh ,ABCD . Chứng minh tứ giác AECF là hình thoi. Lời giải Cách 1: Ta có tứ giác AECF là hình hành có hai đường chéo vuông góc AECF là hình thoi (dấu hiệu) Cách 2: AEECCFFAAECF là hình thoi (dấu hiệu) Bài 1.8: Cho tam giác ABE vuông tại A . Từ điểm O trên cạnh BE kẻ đường vuông góc với BE cắt tia đối của tia AB tại F , cắt AE ở D . Tia phân giác của góc E cắt ,ABOD lần lượt tại M và P , tia phân giác của góc F cắt ,BODA ở N và Q . Chứng minh rằng a. EMFN b. MNPQ là hình thoi Lời giải a. Gọi I là giao điểm của MP và NQ +) EF (cùng phụ với B ) +) 0 1211, (,)90FIPOEPPPEFOIEMFN̂ b. Ta có PFM cân tại FPIIM , ENQ cân tại ENIIQ Tứ giác MNPQ có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường và vuông góc với nhau nên là hình thoi Bài 1.9: Cho tam giác đều ABC . Gọi M là điểm thuộc cạnh ,BCE và F lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB và AC . Gọi I là trung điểm của ,AMD là trung điểm của BC a. Tính số đo các góc ,DIEDIF b. Chứng minh rằng tứ giác DEIF là hình thoi B DH IK MC E A O BC E F DA 2 I 1 2 1 21 P N BMAF Q D O E