Tiêu đề Trọn bộ 54 đề toán chuyên_Tuyển sinh 10_24-25_Hồ Khắc Vũ_Quảng Nam.pdf ✅

Trang 1
Trang 2 ĐỀ BÀI ĐỀ TOÁN CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI NĂM 2024-2025 Bài 1 (3.0 điểm). a) Cho hai số thực ab, thỏa mãn a b   2024, 2024 và a a a b b b            2024 2025 2024 2024 2025 2024 Tính giá trị của biểu thức 2024 2025 2024 2025 M a a b b     . b) Tồn tại không hai số hữu tỉ dương ab, thỏa mãn a b   2024 ? Bài 2 (2.0 điểm). Với hai số nguyên dương a và b , phép toán a b* được định nghĩa như sau:  a a a *  với mọi số nguyên dương a .  a b b a * *  với mọi số nguyên dương a  a b a b b * *     với mọi số nguyên dương a b  . a) Tính 16*2024. b) Tìm một phép toán thỏa mãn đồng thời cả ba điều kiện trên. Bài 3 (3.0 điểm). Cho đường tròn O R,  và dây cung BC cố định không đi qua tâm O . A là một điểm di động trên đường tròn O R,  sao cho tam giác ABC nhọn và AB AC  . Các đường cao AD BE CF , , của tam giác ABC cắt nhau tại điểm H . Đường thẳng EF cắt đường tròn O tại hai điểm P và Q sao cho F nằm giữa P và E . Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC . Chứng minh rằng a) 2 2 AP AQ AH AD    . b) Bốn điểm P Q M D , , , cùng nằm trên một đường tròn . c) Tâm I của đường tròn  luôn thuộc một đường tròn cố định. Bài 4 (1.0 điểm). Với mỗi số nguyên dương n , gọi f n  là tổng tất cả các chữ số của số 2 3 1 n n   . Tìm giá trị nhỏ nhất có thể của f n  . Bài 5 (1.0 điểm). Cho một bảng ô vuông 8 8  . Một miếng domino là một hình chữ nhật được tạo bởi hai ô vuông 1 1 liên tiếp có chung cạnh. Người ta lát bảng 8 8  bằng các miếng domino màu trắng (có hai ô vuông được tô màu trắng) hoặc màu đen (có hai ô vuông được tô màu đen) thỏa mãn đồng thời ba điều kiện: - Hai miếng domino bất kỳ không cùng che một ô 1 1 . - Mỗi hình vuông 2 2  bất kỳ đều có ít nhất một ô vuông màu đen. - Cả bảng được lấp bởi các miếng domino trắng và đen. Tìm số nguyên dương k nhỏ nhất sao cho ta có thể lát được bảng với đúng k miếng domino màu đen.
Trang 3 LỜI GIẢI ĐỀ TOÁN CHUYÊN LỚP 10/2024 THPT CHUYÊN DHSP Võ Quốc Bá Cẩn - Nguyễn Lê Phước - Nguyễn Văn Quý - Nguyễn Tiến Dũng Trần Đức Hiếu - Trần Quang Độ - Phan Quang Linh - Vũ Minh Đức - Đào Phúc Long Bài 1 (3.0 điểm). a) Cho hai số thực ab, thỏa mãn a b   2024, 2024 và a a a b b b            2024 2025 2024 2024 2025 2024 Tính giá trị của biểu thức 2024 2025 2024 2025 M a a b b     . b) Tồn tại không hai số hữu tỉ dương ab, thỏa mãn a b   2024 ? Lời giải. a) Giả thiết của bài toán có thể được viết lại thành   1 1 2024 2024 # 1 2025 2024 2025 2024 a b a a b b            Nếu a b  , thì ta có a b    2024 2024 và 2025 2024 2025 2024        a a b b Do đó VT VP 1 1     , mâu thuẫn. Tương tự, nếu a b  , thì ta có VT VP 1 1     , cũng dẫn đến mâu thuẫn. Do đó a b  (thử lại thỏa mãn). Từ đây, ta suy ra M  0 . b) Giả sử tồn tại hai số hữu tỉ dương a và b thỏa mãn yêu cầu đề bài. Từ giả thiết, ta có a b ab    2 2 506 hay 2 2 506 ab a b      Từ đó   2 4 2024 ( ) 4 506 ab a b a b      Suy ra 4 506 a b   là số hữu tỉ. Mà 4a b   là số hữu tỉ và 506 là số vô tỉ nên điều này xảy ra chỉ khi a b   0 , tức a b   0 , mâu thuẫn. Vậy, không tồn tại hai số hữu tỉ dương a , b thỏa mãn yêu cầu.
Trang 4 Bình luận. Ý a) còn có cách khác như sau: Giả thiết có thể được viết lại thành a b b a b a            2024 2024 2024 2024 2025 2025 hay 2024 2024 2024 2024 2025 2025 a b a b a b a b b a b a               Giả sử a b  , khi đó ta có 1 1 1 a b b a b a 2024 2024 2024 2024 2025 2025            mâu thuẫn vì 1 1 VT 2024 2024 2025 2025 b a b a         . Do vậy a b  . Từ đó M  0 . Bài 2 (2.0 điểm). Với hai số nguyên dương a và b , phép toán a b* được định nghĩa như sau:  a a a *  với mọi số nguyên dương a .  a b b a * *  với mọi số nguyên dương a  a b a b b * *     với mọi số nguyên dương a b  . a) Tính 16*2024. b) Tìm một phép toán thỏa mãn đồng thời cả ba điều kiện trên. Lời giải. a) Từ giả thiết, dễ thấy với a kb  , với k nguyên dương thì a b a b b a b b a kb b * * 2 * *              Sử dụng kết quả này với chú ý 2024 126 16 8    , ta được 16*2024 2024*16 2024 126 16 *16 8*16 16*8 8*8 8           b) Ta sẽ chứng minh với ab, là hai số nguyên dương bất kỳ thì a b a b * ,    trong đó a b,  là ước chung lớn nhất của hai số a và b , là một quy tắc của phép toán * thỏa mãn yêu cầu đề bài. Thật vậy, hiển nhiên a a a a a * ,     và a b a b b a b a * , , *      . Bây giờ, ta sẽ chứng minh