Tiêu đề Bài 8_Lời giải.pdf ✅

BÀI GIẢNG TOÁN 10 – KNTT– PHIÊN BẢN 25-26 1 BÀI 8. TỔNG VÀ HIỆU HAI VECTƠ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. TỔNG CỦA HAI VECTƠ Cho hai vectơ a r và b r . Lấy một điểm A tùy ý, vẽ AB a BC b = = , uuur r uuur r (H4.13). Khi đó vectơ AC uuur được gọi là tổng của hai vectơ a r và b r và được kí hiệu là a b + r r . Phép lấy tổng của hai vectơ được gọi là phép cộng vectơ. Quy tắc ba điểm: Với ba điểm bất kì A B C , , , ta có AB BC AC + = uuur uuur uuur . Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD là một hình bình hành thì AB AD AC + = uuur uuur uuur . Với ba vectơ a b c , , r r r tùy ý:  Tính chất giao hoán: a b b a + = + r r r r  Tính chất kết hợp: a b c a b c + + = + +    r r r r r r  Tính chất của vectơ – không: a a a + = + = 0 0 r r r r r Chú ý. Do các vectơ a b c + + r r r và a b c + +   r r r bằng nhau, nên ta còn viết chúng dưới dạng a b c + + r r r và gọi là tổng của ba vectơ a b c , , r r r . Tương tự, ta cũng có thể viết tổng của một số vectơ mà không cần dùng dấu ngoặc 2. HIỆU CỦA HAI VECTƠ  Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với véc tơ a r được gọi là vectơ đối của vectơ a r . Vectơ đối của vectơ a r được kí hiệu là -a r .  Vectơ 0 r được coi là vectơ đối của chính nó. Chú ý. Hai vetơ đối nhau khi và chỉ khi tổng của chúng bằng 0 r . B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Xác định độ dài tổng, hiệu của các vectơ. 1. Phương pháp giải. Để xác định độ dài tổng hiệu của các vectơ  Trước tiên sử dụng định nghĩa về tổng, hiệu hai vectơ và các tính chất, quy tắc để xác định định phép toán vectơ đó.  Dựa vào tính chất của hình, sử dụng định lí Pitago, hệ thức lượng trong tam giác vuông để xác định độ dài vectơ đó. 2. Các ví dụ. Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có  0 ABC = 30 và BC a = 5 . Tính độ dài của các vectơ + uuur uuur AB BC , - uuur uuur AC BC và + uuur uuur AB AC . Lời giải (hình 1.10)
BÀI GIẢNG TOÁN 10 – KNTT– PHIÊN BẢN 25-26 2 Theo quy tắc ba điểm ta có  AB BC AC + = uuur uuur uuur Mà sin AC ABC BC =  0 5 .sin 5.sin30 2 a Þ = = = AC BC ABC a Do đó 5 2 a AB BC AC AC + = = = uuur uuur uuur  AC BC AC CB AB - = + = uuur uuur uuur uuur uuur Ta có 2 2 2 2 2 2 2 5 15 5 4 2 a a AC AB BC AB BC AC a + = Þ = - = - = Vì vậy 15 2 a AC BC AB AB - = = = uuur uuur uuur  Gọi D là điểm sao cho tứ giác ABDC là hình bình hành. Khi đó theo quy tắc hình bình hành ta có AB AC AD + = uuur uuur uuur Vì tam giác ABC vuông ở A nên tứ giác ABDC là hình chữ nhật suy ra AD BC a = = 5 Vậy AB AC AD AD a + = = = 5 uuur uuur uuur Ví dụ 2: Cho hình vuông ABCD có tâm là O và cạnh a . M là một điểm bất kỳ. a) Tính AB AD OA CB CD DA + - - , , uuur uuur uuur uuur uuur uuur b) Chứng minh rằng u MA MB MC MD = + - - r uuur uuur uuur uuur không phụ thuộc vị trí điểm M . Tính độ dài vectơ u r Lời giải (hình 1.11) a) + Theo quy tắc hình bình hành ta có AB AD AC + = uuur uuur uuur Suy ra AB AD AC AC + = = uuur uuur uuur . Áp dụng định lí Pitago ta có 2 2 2 2 AC AB BC a AC a = + = Þ = 2 2 Vậy AB AD a + = 2 uuur uuur + Vì O là tâm của hình vuông nên OA CO = uuur uuur suy ra OA CB CO CB BC - = - = uuur uuur uuur uuur uuur Vậy OA CB BC a - = = uuur uuur uuuur + Do ABCD là hình vuông nên CD BA = uuur uuur suy ra CD DA BA AD BD - = + = uuur uuur uuur uuur uuur B A C D Hình 1.10 O A D B C C' Hình 1.11

BÀI GIẢNG TOÁN 10 – KNTT– PHIÊN BẢN 25-26 4 Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD tâm O . M là một điểm bất kì trong mặt phẳng. Chứng minh rằng a) BA DA AC + + = 0 uuur uuur uuur r b) OA OB OC OD + + + = 0 uuur uuur uuur uuur r c) MA MC MB MD + = + uuur uuur uuur uuur . Lời giải (Hình 1.12) a) Ta có BA DA AC AB AD AC + + = - - + uuur uuur uuur uuur uuur uuur = - + + (AB AD AC ) uuur uuur uuur Theo quy tắc hình bình hành ta có AB AD AC + = uuur uuur uuur suy ra BA DA AC AC AC + + = - + = 0 uuur uuur uuur uuur uuur r b) Vì ABCD là hình bình hành nên ta có: OA CO OA OC OA AO = Þ + = + = 0 uuur uuur uuur uuur uuur uuur r Tương tự: OB OD OA OB OC OD + = Þ + + + = 0 0 uuur uuur r uuur uuur uuur uuur r . c) Cách 1: Vì ABCD là hình bình hành nên AB DC BA DC BA AB = Þ + = + = 0 uuur uuur uuur uuur uuur uuur r MA MC MB BA MD DC MB MD BA DC MB MD Þ + = + + + = + + + = + uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur Cách 2: Đẳng thức tương đương với MA MB MD MC BA CD - = - Û = uuur uuur uuur uuur uuur uuur (đúng do ABCD là hình bình hành) Ví dụ 3: Cho tam giác ABC . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC CA AB , , . Chứng minh rằng a) BM CN AP + + = 0 uuur uuur uuur r b) AP AN AC BM + - + = 0 uuur uuur uuur uuur r c) OA OB OC OM ON OP + + = + + uuur uuur uuur uuur uuur uuur với O là điểm bất kì. Lời giải (Hình 1.13) a) Vì PN MN , là đường trung bình của tam giác ABC nên PN BM MN BP / / , / / suy ra tứ giác BMNP là hình bình hành Þ = BM PN uuuur uuur N là trung điểm của AC CN NA Þ = uuur uuur Do đó theo quy tắc ba điểm ta có ( ) 0 BM CN AP PN NA AP PA AP + + = + + = + = uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur r b) Vì tứ giác APMN là hình bình hành nên theo quy tắc hình bình hành ta có AP AN AM + = uuur uuur uuuur , kết hợp với quy tắc trừ Þ + - + = - + = + AP AN AC BM AM AC BM CM BM uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur Mà CM BM + = 0 uuur uuur r do M là trung điểm của BC . O A D C B Hình 1.12 Hình 1.13 N M P A B C