Tiêu đề Bài 25_Hai mặt phẳng vuông góc_Lời giai.docx ✅

BÀI 25: HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG, HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC HĐ1. Cho hai mặt phẳng (P) và (Q). Lấy hai đường thẳng , 'aa cùng vuông góc với (P), hai đường thẳng , 'bb cùng vuông góc với (Q). Tìm mối quan hệ giữa các góc ,ab và ', '.ab Lời giải Vì , 'aa đều vuông góc với , , 'Pbb đều vuông góc với Q nên ta có thể suy ra:  Góc giữa avàb bằng góc giữa ' 'avàb (vì hai góc này đều là góc giữa hai đường thẳng vuông góc với nhau).  Góc giữa 'avàa bằng góc giữa 'bvàb (vì hai góc này đều là góc giữa hai đường thẳng cùng vuông góc với hai mặt phẳng khác nhau).  Hai góc , ','abvàab đều bằng góc giữa đường thẳng  'aa và đường thẳng  '.bb Từ đó suy ra, góc ,ab bằng góc ','ab (do cùng bằng góc giữa ,avàb và giữa ' 'avàb đều có mối quan hệ tương tự). Vậy mối quan hệ giữa hai góc , ','abvàab là bằng nhau.  Cho hai mặt phẳng P và Q . Lấy các đường thẳng ,ab tương ứng vuông góc với ,PQ . Khi đó, góc giữa a và b không phụ thuộc vào vị trí của ,ab và được gọi là góc giữa hai mặt phẳng P và Q .  Hai mặt phẳng P và Q được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90∘ . Chú ý. Nếu  là góc giữa hai mặt phẳng P và Q thì 090∘ . ? Góc giữa hai mặt phẳng bằng 0∘ khi nào, khác 0∘ khi nào? Ví dụ 1. Cho hai mặt phẳng P và Q cắt nhau theo giao tuyến Δ . Lấy một điểm O bất kì thuộc đường thẳng Δ . Gọi ,mn là các đường thẳng đi qua O , tương ứng thuộc ,PQ và vuông góc với Δ . Chứng minh rằng góc giữa P và Q bằng góc giữa m và n . Lời giải (H.7.45)
Trong mặt phẳng chứa ,mn , lấy một điểm E không thuộc các đường thẳng ,mn . Gọi ,AB tương ứng là hình chiếu của E trên ,mn . Khi đó Δ vuông góc với các đường thẳng ,EAEB . Do ,ΔEAmEA nên EAP . Tương tự, EBQ . Do đó, góc giữa P và Q bằng góc giữa EA và EB .  90OAEOBE∘ nên bốn điểm ,,,OAEB thuộc một đường tròn. Do đó,  AOB và  AEB bằng hoặc bù nhau, tức là ,,EAEBmn . Vậy góc giữa P và Q bằng góc giữa m và n . Nhận xét. Cho hai mặt phẳng P và Q cắt nhau theo giao tuyến Δ . Lấy hai đường thẳng ,mn tương ứng thuộc ,PQ và cùng vuông góc với Δ tại một điểm O (nói cách khác, lấy một mặt phẳng vuông góc với Δ , cắt ,PQ tương ứng theo các giao tuyến ,)mn . Khi đó, góc giữa P và Q bằng góc giữa m và n . Đặc biệt, P vuông góc với (Q) khi và chỉ khi m vuông góc với n . Luyện tập 1. Cho hình chóp .DSABC , đáy DABC là một hình chữ nhật có tâm O , DSOABC . Chứng minh rằng hai mặt phẳng SAC và DSB vuông góc với nhau khi và chỉ khi DABC là một hình vuông. Lời giải
Vì  ,()SOABCD ta có  SO  song song với đường chéo     ACvàBD của hình vuông .ABCD Do đó, để chứng minh    .ACSOvàBDSO Vì   ABCD là hình chữ nhật, nên  AC  vuông góc với  BD . Do đó, ta có    .ACSOvàBDSO Vì  DABC  là hình chữ nhật có tâm  O , nên    OAOCvàOBOD . Từ đó, ta có     SASBvàASOBSO . Do đó, tam giác     ASOvàBSO đồng dạng, từ đó suy ra    .SASOvàSBSO Vì  DABC  là hình vuông, nên  AC  vuông góc với  D.B Khi đó, góc giữa   ( )) (SACvàSBD là góc giữa đường thẳng    ACvàBD , mà đó chính là góc vuông. Do đó,   ( )) (SACvàSBD vuông góc với nhau. 2. ĐIỀU KIỆN HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC HĐ2. Cho mặt phẳng P chứa đường thẳng b vuông góc với mặt phẳng (Q). Lấy một đường thẳng aP H.7.47 . a) Tính góc giữa a và b . b) Tính góc giữa P và Q . Lời giải a) Chọn một điểm A trên đường thẳng a và kết nối A với bằng một đường thẳng tạo thành một mặt phẳng S vuông góc với cả .avàb Gọi H là hình chiếu của A trên đường thẳng b , ta có thể xây được một mặt phẳng chứa avàb là mặt phẳng T qua .AvàH Khi đó, góc giữa avàb bằng góc giữa hai mặt phẳng  .SvàT b) Chọn một điểm B trên đường thẳng b và kết nối B với một điểm C trên Q bằng một đường thẳng tạo thành một mặt phẳng U vuông góc với cả b và Q . Gọi K là hình chiếu của B trên P , ta có thể xây được đường thẳng c là đường thẳng KL đi qua K và vuông góc với P . Khi đó, góc giữa P và Q bằng góc giữa đường thẳng b và c . Hai mặt phẳng vuông góc với nhau nếu mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia. Ví dụ 2. Cho tứ diện OABC có OA vuông góc với OB và OC . Chứng minh rằng các mặt phẳng OAB và OAC cùng vuông góc với mặt phẳng OBC . Lời giải