Tiêu đề Đề Thi Chọn Học Sinh Giỏi Lớp 9 Tỉnh Vĩnh Phúc 2015-2016 [Đáp Án].pdf ✅

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2015-2016 ĐỀ THI MÔN: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1. (2,0 điểm) Cho biểu thức x 4 1 2 x 5 A : 1 x 4 x 2 x 2                         a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm tất cả các số nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên. Câu 2. (2,0 điểm) a) Giải phương trình :      2 x 1 x 2 x 6 x 3 45x      b) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn :   2 y x x x 1 4 1     Câu 3. (1,0 điểm) Cho các số nguyên x, y thỏa mãn 3x 2y 1.   Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 H x y xy x y 2       Câu 4. (3,0 điểm) Cho hai điểm A, B phân biệt, lấy điểm C bất kỳ thuộc đoạn AB sao cho 3 0 AC AB; 4   tia Cx vuông góc với AB tại C. Trên tia Cx lấy hai điểm D, E phân biệt sao cho CE CA 3 CB CD   . Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADC và đường tròn ngoại tiếp tam giác BEC cắt nhau tại điểm H (H không trùng với C) a) Chứng minh rằng ADC EBC  và ba điểm A, H, E thẳng hàng b) Xác định vị trí của C để HC AD  c) Chứng minh rằng khi điểm C thay đổi thì đường thẳng HC luôn đi qua một điểm cố định Câu 5. (1,0 điểm) Cho ba số thực không âm x,y,z thỏa mãn x y z 2.  Chứng minh rằng x 2y z 2 x 2 y 2 z           Câu 6 Trên mặt phẳng cho 5 điểm phân biệt sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng và không có bốn điểm nào cùng thuộc một đường tròn. Chứng minh rằng tồn tại một đường tròn đi qua ba điểm trong năm điểm đã cho và hai điểm còn lại có đúng một điểm nằm bên trong đường tròn.

2 2 a) Giải phương trình: 2 ( 1)( 2)( 6)( 3) 45 x x x x x + − + − = . b) Tìm tất cả các cặp số nguyên ( x y; ) thỏa mãn: ( ) 2 1 4 1 y x x x + + = − . a Phương trình tương đương: 2 2 2 ( 7 6)( 5 6) 45 x x x x x + + − + = Nhận thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình. Phương trình đã cho tương đương: 6 6 x x 5 7 45 x x         + − + + =     Đặt 6 t x 1 x = + + , ta được: 2 t t − = ⇔ = ± 81 0 9 Với t = 9 , ta có: 6 2 x x x x 8 0 8 6 0 4 10 x + − = ⇔ − + = ⇔ = ± Với t = −9 , ta có: 6 2 x x x x 10 0 10 6 0 5 19 x + + = ⇔ + + = ⇔ = − ± Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm: x = ±4 10 ; x = − ±5 19 . b ( ) ( )( ) 2 2 1 4 1 1 1 4 y y x x x x x + + = − ⇔ + + = Do x y x y , , 0 ∈Z ⇒ ≥ Nếu x y = 0 0 ⇒ = , suy ra (0;0) là nghiệm của phương trình đã cho Nếu x y x > 0 0 1 ⇒ > ⇒ + chẵn, đặt x k k = + ≥ 2 1, 0 Khi đó ( )( ) 2 1 1 2 2 1 4y k k k − + + + = Do 2 2 2 1 k k + + là số lẻ, suy ra k x y = 0 1 1 ⇒ = ⇒ = Suy ra (1;1) là nghiệm của phương trình đã cho Vậy, phương trình đã cho có nghiệm ( x y; ) là (0;0) và (1;1) 3 Cho các số nguyên x, y thỏa mãn 3 2 1 x y + = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 H x y xy x y = − + + + − 2. Do x y, ∈Z và 3 2 1 x y + = , suy ra x, y trái dấu 1 1 3 2 1 2 2 x x x y y x t − − + = ⇔ = − + ⇒ = ∈Z ⇒ x t y t = − = − 1 2 ; 3 1 Khi đó 2 H t t t = − + − 3 1 Nếu ( ) 2 t H t ≥ 0 1 2 2 ⇒ = − − ≥ − , dấu “=” xảy ra khi t = 1 Nếu 2 t H t t < 0 4 1 1 2 ⇒ = − − > − > − Vậy, min H = −2 khi 1 1 2 x t y  = − = ⇒   =
3 4 Cho hai điểm A, B phân biệt, lấy điểm C bất kì thuộc đoạn AB sao cho 3 0 4 < < AC AB ; tia Cx vuông góc với AB tại C. Trên tia Cx lấy hai điểm D, E phân biệt sao cho = = 3. CE CA CB CD Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADC và đường tròn ngoại tiếp tam giác BEC cắt nhau tại điểm thứ hai H (H không trùng với C). a) Chứng minh rằng ADC EBC = và ba điểm A H E , , thẳng hàng b) Xác định vị trí của C để HC AD ⊥ . c) Chứng minh rằng khi điểm C thay đổi thì đường thẳng HC luôn đi qua một điểm cố định. x I H D E C A B a Từ giả thiết, có: CE CD > ; CE CA 3; 90 o DCA BCE CB CD = = = = suy ra hai tam giác ADC , EBC đồng dạng. Suy ra: ADC EBC = (1) Do tứ giác AHDC nội tiếp, suy ra: AHC ADC = (2) Do tứ giác BCHE nội tiếp, suy ra: 0 EBC CHE + =180 (3) Từ (1), (2), (3) suy ra: 0 AHC CHE + =180 , suy ra ba điểm A H E , , thẳng hàng. b Ta có: tan 3 60 60 ADC ADC EBC AC o o CD = = ⇒ = ⇒ = Do 60o AD HC ACH ADC ⊥ ⇒ = = Lại có tứ giác BCHE nội tiếp, suy ra 60o AEB HCA = = Suy ra ∆ABE đều⇒ C là trung điểm của AB