Tiêu đề Phương trình mặt phẳng-Sách CKP.docx ✅

CHƯƠNG V. PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Bài 2: Phương trình mặt phẳng (Cùng khám phá) Câu 1. Một phần sân nhà bác An có dạng hình thang ABCD vuông tại A và B với độ dài 9 ABm , 5 ADm và 6 BCm như hình 5.9. Theo thiết kế ban đầu thì mặt sân bằng phẳng và ,,,ABCD có độ cao như nhau. Sau đó bác An thay đổi thiết kế để nước có thể thoát về phía góc sân ở vị trí C bằng cách giữ nguyên độ cao ở A, giảm độ cao của sân ở vị trí B và D xuống thấp hơn ở A lần lượt là 6 cm và 3,6 cm . Để mặt sân sau khi lát gạch vẫn là bề mặt phẳng thì bác An cần phải giảm độ cao ở C xuống bao nhiêu centimét so với độ cao ở A? (Vận dụng 1 - Nguồn sách Cùng khám phá) Lời giải Gắn hệ trục toạ độ Oxyz vào sân sao cho A trùng gốc toạ độ O. Theo đề bài hình thang ABCD vuông tại A và B, giả sử điểm B nằm trên trục Oy, điểm D nằm trên trục Ox khi đó toạ độ các điểm B, C, D là 0;9;0B , 5;0;0D , 6;9;0C . Gọi B’, D’ là các điểm tương ứng sau khi giảm độ cao các đỉnh B, D so với độ cao ở A. Ta có 3'0;9;0.060;9; 50B    , 9'5;0;0.0365;0; 250D    . Gọi C’ là điểm cần giảm độ cao của đỉnh C để sau khi lát gạch sân vẫn là bề mặt phẳng, 0'6;9;Cz . Mặt phẳng (P) qua các điểm ,','ABD có vectơ pháp tuyến 813813 ',';;45;;45 2501025010ABAD    →→ ta có phương trình mặt phẳng (P) là: 813 450 25010xyz , để mặt sân vẫn là mặt phẳng thì điểm 'CP nên ta có: 00 813129 .6.94500.1032 ()10.32 () 250101250zzmcm Vậy Bác An cần giảm độ cao ở C xuống 10.32 (cm) thì bề mặt sân vẫn là mặt phẳng. Câu 2. Dùng phương pháp toạ độ để giải bài toán sau: Bạn An muốn trưng bày một mô hình tháp Eiffel trong một cái hộp có dạng hình chóp tam giác đều vơi cạnh bên bằng 20 cm, các mặt bên là các tam giác vuông và chân tháp nằm trên mặt đáy của cái hộp (Hình 5.14). Hỏi nếu mô hình tháp Eiffel này cao 11 cm thì có đặt được trong hộp không? Vì sao?
(Vận dụng 2 - Nguồn sách Cùng khám phá) Lời giải Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho điểm S trùng gốc toạ độ O. Khi đó ta có 0;0;20A , 0;20;0B , 0;0;20C Phương trình mặt phẳng ABC là: 1 202020 xyz  200xyz . Khoảng cách từ điểm S đến ABC là: 20203,11,55 (cm) 33dSABC  Vì mô hình tháp Eiffel này cao 11 cm nhỏ hơn chiều cao của hình chóp tam giác nên mô hình đặt được trong hộp. Câu 3. Thùng của một máy nông nghiệp được thiết kế mô phỏng trong hệ trục toạ độ Oxyz là một hình lăng trụ tứ giác ABCD.EFGH với 0;1;2A , 0;1;3,5B , 0;4;3,5C , 0;2,5;2D , 2;1;2E (Hình 5.15). a) Viết phương trình mặt phẳng (EFGH) và tính chiều cao của hình lăng trụ ABCD.EFGH. b) Viết phương trình mặt phẳng (CDHG) và tính khoảng cách từ F đến mặt phẳng (CDHG). (Bài 5.13 trang 52 - Nguồn sách Cùng khám phá) Lời giải
a) + Viết phương trình mặt phẳng (EFGH): Ta có EFGHABCDOyz∥ nên EFGH có một vectơ pháp tuyến là 1;0;0n→ do đó phương trình mặt phẳng EFGH là: 20x . + Tính chiều cao của hình lăng trụ ABCD.EFGH. Chiều cao h của lăng trụ ABCD.EFGH bằng khoảng cách từ điểm A đến EFGH , do đó ta có ,2hdAEFGH . b) + Viết phương trình mặt phẳng (CDHG): Ta có 0;1,5;1,51,50;1;1CD→ , 2;0;0,50,54;0;1CG→ . Mặt phẳng (CDHG) có một vectơ pháp tuyến là ,1;4;41;4;4nCDCG  →→→ do đó phương trình mặt phẳng CDHG là: 2444304420xyzxyz . + Tính khoảng cách từ F đến mặt phẳng (CDHG): Ta có  22 121233 , 33144dFCDHG  . Câu 4. Người ta thiết kế một mái che hình chữ nhật ABCD phía trên sân khấu. a) Với hệ trục Oxyz (đơn vị trên trục là mét) và các kích thước được cho như hình 5.16, hãy viết phương trình mặt phẳng chứa mái che. b) Một cổng chào hình chữ nhật EFGH cao 4 m dựng vuông góc với mặt đất. Người ta muốn làm các đoạn dây nối thanh ngang GE với mái che để gắn hoa và đèn led. Tính độ dài ngắn nhất của mỗi đoạn dây này. (Bài 5.14 trang 52 - Nguồn sách Cùng khám phá) Lời giải a) Mặt phẳng chứa mái che là mặt phẳng ABCD , theo đề bài ta có 0;0;8A , 0;20;8B , 15;20;14C do đó 0;20;0200;1;0AB→ , 15;15;6AC→ . Mặt phẳng ABCD có một vectơ pháp tuyến là ,6;0;15nABAC  →→→ nên phương trình mặt phẳng là: 6151200xz . b) Cổng chào hình chữ nhật EFGH cao 4 m dựng vuông góc với mặt đất. Người ta muốn làm các đoạn dây nối thanh ngang GE với mái che để gắn hoa và đèn led nên ta có GECD∥ do đó GE và CD cùng thuộc một mặt phẳng. Vì GEAOMD nên GEGD ta có ,GDDMMGE . Do đó các đoạn dây nối GE với mái che ngắn nhất bằng DG. Theo đề bài ta có: 15;0;14D , 8;0;4G 227;0;1071014912,2 DGDGm→→
Vậy độ dài ngắn nhất của mỗi đoạn dây gần bằng 12,2 (m).