Tiêu đề Toán 12_Tập 1 C2_Bài 1. Vecto,cac phep toan trong KG CTST_bản GV.pdf ✅

197 PHẦN HÌNH HỌC VÀ ĐO LƢỜNG Chƣơng II. VECTƠ VÀ HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN i . Vec ơ c c ph p o n ong h ng gian A. Kiến hức cần nhớ . Vec ơ ong h ng gian  Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng.  Kí hiệu AB chỉ vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B.  Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của nó. Độ dài của vectơ a được kí hiệu là a .  Giá của vectơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.  Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.  Nếu hai vectơ cùng phương thì chúng có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.  Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng. Nếu hai vectơ a , b bằng nhau thì ta viết là a b  .  Hai vectơ được gọi là đối nhau nếu chúng có cùng độ dài và ngược hướng. Vectơ đối của a được kí hiệu là a .  Nếu không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối thì vectơ còn được kí hiệu là u v x y , , , ,...  Trong không gian, cho điểm O và vectơ a , tồn tại duy nhất điểm M để OM = a . 2. Tổng và hiệu của hai ec ơ a) Tổng của hai ec ơ  Trong không gian, cho hai vec tơ ab, . Lấy ba điểm O, A, B sao cho OA a  , AB b  . Ta gọi OB là tổng của hai vec tơ a và b , kí hiệu a b  . Nhận xét: Phép cộng vectơ trong không gian cũng có các tính chất như phép cộng vectơ trong mặt phẳng.  Tính chất giao hoán: a b b a     Tính chất kết hợp: a b c a b c         ;  Với mọi vectơ a , ta luôn có: a a a     0 0 .  Với ba điểm A, B, C ta có: AB BC AC   (Quy tắc ba điểm)  Nếu ABCD là hình bình hành ta có: AB AD AC   (Quy tắc hình bình hành)  Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Ta có: AB AD AA AC     (Quy tắc hình hộp) b) Hiệu của hai ec ơ
198  Trong không gian, cho hai vec tơ ab, . Ta gọi a b    là hiệu của hai vec tơ a và b , kí hiệu a b  .  Quy tắc hiệu: Trong không gian, với ba điểm A, B, C ta có: AB AC CB   3. Tích của một số với mộ ec ơ  Trong không gian, cho số k  0 và vec tơ a  0 . Tích của số k với vec tơ a là một vec tơ, kí hiệu ka , cùng hướng với a nếu k > 0, ngược hướng với a nếu k < 0 và có độ dài bằng k a. . Phép lấy tích của một số với một vec tơ được gọi là phép nhân một số với một vec tơ.  Quy ước 0. a = 0 và k. 0 = 0 . Nhận xét: Với hai vectơ a và b bất kì, với mọi số h và k, ta có:  k a b ka kb       h k a ha ka      h ka hk a       1.a a      1.a a  ka a    0 0 hoặc k = 0.  Hai vectơ a và b ( b khác 0 ) cùng phương khi và chỉ khi có số k sao cho a = k. b  Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k khác 0 để AB k AC  . 4. Tích hƣớng của hai ec ơ a) Góc giữa hai ec ơ ong h ng gian  Trong không gian, cho hai vec tơ u và v là hai vec tơ khác 0 . Lấy một điểm A bất kì, gọi B và C là hai điểm sao cho AB u  và AC v  . Khi đó, ta gọi BAC là góc giữa hai vec tơ u và v , kí hiệu u v,  . ▪ 0 o ≤ u v,  ≤180o ; ▪ Nếu u v,  = 90o thì ta nói u và v vuông góc với nhau, kí hiệu u v  . b) Tích hƣớng của hai ec ơ Ta gọi AB AC . là tích vô hướng của hai vec tơ u , v , ta có:  Trong không gian, cho hai vec tơ u và v khác 0 . Tích vô hướng của hai vec tơ u và v là một số, kí hiệu u . v , được xác định bởi công thức u v u v u v . . .cos ,    . ▪ Trong trường hợp u  0 hoặc v  0 , ta quy ước uv. 0  . ▪ b) 2 2 u u u u .   ; 2 u ≥ 0, 2 u u    0 0 . ▪ Với hai vectơ u và v khác 0 , ta có   . cos , . u v u v u v  . ▪ Với hai vectơ u và v khác 0 , ta có u v u v    . 0. Nhận xét: Với ba vectơ abc , , và số k, ta có: ▪ a b b a . .  ▪ a b c a b a c . . .      ▪ ka b k a b a b . . . k      
199 . C c dạng b i ập & phƣơng ph p giải Dạng . Vec ơ ong h ng gian Ví dụ . Cho hình tứ diện ABCD. Hãy chỉ ra các vectơ có điểm đầu là B và điểm cuối là các đỉnh còn lại của hình tứ diện. Lời giải tham khảo Ta có ba vectơ BA BC BD , , có điểm đầu là B và điểm cuối là các đỉnh còn lại của hình tứ diện. Ví dụ 2. Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ (Hình vẽ). a) Giá của ba vectơ AB D , , A AA có cùng nằm trong một mặt phẳng không? b) Tìm các vectơ bằng vectơ AB . c) Tìm các vectơ đối của vectơ AD . Lời giải tham khảo a) Giá của ba vectơ AB D , , A AA lần lượt là ba đường thẳng AB, AD, AA′. Chúng không cùng nằm trong một mặt phẳng vì bốn điểm A, B, D, A′ không đồng phẳng. b) Do ABCD.A′B′C′D′ là hình hộp nên AA′B′B là hình bình hành, suy ra AB // A′B′ và AB = A′B′. Ta có hai vectơ AB và AB  cùng hướng và có độ dài bằng nhau, suy ra AB = AB  Tương tự, ta cũng có AB = DC và AB = DC  . c) Hai vectơ AD và DA có độ dài bằng nhau và ngược hướng, suy ra DA là vectơ đối của AD . Ta có ABCD là hình bình hành, suy ra AD có cùng độ dài và ngược hướng với CB , suy ra CB là vectơ đối của AD . Tương tự, ta cũng có D A C B     , là vectơ đối của AD . Ví dụ 3. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. a) Chỉ ra các vectơ có điểm đầu là S và điểm cuối là các đỉnh của đa giác đáy. b) Tìm các vectơ có độ dài bằng độ dài của vectơ SA. c) Tìm các vectơ đối của vectơ CB. C
200 Lời giải tham khảo a) Các vectơ có điếm đầu là S và điểm cuối là các đỉnh của đa giác đáy là SA SB SC SD , , , . b) Vì S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên SA SB SC SD    . Vậy các vectơ SB SC SD AS BS CS DS , , , , , , có độ dài bằng độ dài của vectơ SA. c) Vì ABCD là hình vuông nên AD BC  . Mà CB và AD ngược hướng nhau nên AD là vectơ đối của vectơ CB . Hai vectơ CB và BC có độ dài bằng nhau nhưng ngược hướng nên BC là vectơ đối của vectơ CB . Dạng 2. Tổng và hiệu của hai ec ơ Ví dụ 4. Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ (Hình vẽ). a) Trong mặt phẳng (ABCD), tìm vectơ tổng AB AD  . b) So sánh hai vectơ BD B D ,   . c) Giải thích tại sao AB B D AD     . Lời giải tham khảo a) AB BC AC   ; A B B C A C .         b) Vî AA'B'B là hình bình hành, suy ra AB A B / /   và AB A B   . Ta có hai vectơ AB và AB  cùng hướng và có độ dài bằng nhau nên AB A B   . Tương tự: BC B C AC AC ;       . c) Vì AB BC AC   và A B B C A C         mà AC AC   nên AB BC A B B C        .