Tiêu đề Bài 22_ _Đề bài_Toán 10_KNTT.pdf ✅

BÀI 22. BA ĐƯỜNG CÔNIC A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. Định nghĩa elip: Cho hai điểm cố định và phân biệt 1 2 F F, . Đặt 1 2 F F c = > 2 0 . Cho số thực a c > . Tập hợp các điểm M sao cho 1 2 MF MF a + = 2 được gọi là đường elip ( ) E . Hai điểm 1 2 F F, được gọi là hai tiêu điểm và 1 2 F F c = 2 được gọi là tiêu cự của ( ) E . Phương trình chính tắc của elip ( ) E có dạng 2 2 2 2 + =1 x y a b với a b > > 0 . Elip ( ) E có hai tiêu điểm là 1 2 F c F c ( ;0), ( ;0) - và có tiêu cự là 2 , c với 2 2 c a b = - . 2. Định nghĩa hypebol: Cho hai điểm phân biệt cố định F1 và F2 . Đặt 1 2 F F c = 2 . Cho số thực dương a c < . Tập hợp các điểm M sao cho 1 2 MF MF a - = 2 được gọi là đường hypebol ( ) H . Hai điểm 1 2 F F, được gọi là hai tiêu điểm và 1 2 F F c = 2 được gọi là tiêu cự của ( ) H . Phương trình chính tắc của hypebol ( ) H có dạng 2 2 2 2 - =1 x y a b với a b, 0 > . Hypebol ( ) H có hai tiêu điểm là 1 2 F c F c ( ;0), ( ;0) - và có tiêu cự là 2 , c với 2 2 c a b = + . 3. Định nghĩa parabol: Cho một điểm F cố định và một đường thẳng D cố định không đi qua F . Tập hợp các điểm M cách đều F và D được gọi là đường parabol ( ) P . Điểm F được gọi là tiêu điểm, D được gọi là đường chuẩn của ( ) P . Khoảng cách từ F đến D được gọi là tham số tiêu của ( ) P . Phương trình chính tắc của parabol ( ) P có dạng 2 y px = 2 với p > 0 . Parabol ( ) P có tiêu điểm là ;0 2 æ ö ç ÷ è ø p F , phương trình đường chuẩn D là 2 = - p x . B. CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1: Xác định các yếu tố của elip 1. Phương pháp: Cho Elip có phương trình chính tắc:   2 2 2 2 : 1 x y E a b + = với 2 2 2 b a c = - . ● Tiêu điểm     1 2 F c F c - ;0 , ;0 . ● Tọa độ các đỉnh         1 2 1 2 A a A a B b B b - - ;0 , ;0 , 0; , 0; . ● Độ dài trục lớn 2a. ● Độ dài trục bé 2b. ● Tiêu cự 2c 2. Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Cho elip có phương trình 2 2 1 36 9 + = x y .Tìm tiêu điểm và tiêu cự của elip Ví dụ 2: Tìm tọa độ các đỉnh, độ dài các trục, tiêu cự, tiêu điểm, tâm sai của elip:   2 2 : 1 4 1 x y E + = .
Ví dụ 3: Tìm tọa độ các đỉnh, độ dài các trục, tiêu cự, tiêu điểm, tâm sai của elip:  2 2 E x y :4 25 100 + = . Ví dụ 4: Tìm tọa độ các đỉnh, độ dài các trục, tiêu cự, tiêu điểm, tâm sai của elip:   2 2 E x y : 4 9 1 + = . Ví dụ 5: Tìm tâm sai của Elíp biết: a) Mỗi tiêu điểm nhìn trục nhỏ dưới một góc 600 . b) Đỉnh trên trục nhỏ nhìn hai tiêu điểm dưới một góc 600 . c) Khoảng cách giữa hai đỉnh trên hai trục bằng hai lần tiêu cự: Ví dụ 6. Cho elip 2 2 ( ) : 1 25 9 + = x y E . a) Tìm toạ độ hai tiêu điểm, tiêu cự của (E). b) Cho điểm M bất kì thuộc ( ) E . Tính MF MF 1 2 + . c) Cho điềm M thuộc ( ) E sao cho M nhìn hai tiêu điềm dưới một góc vuông. Tính đoạn OM, trong đó O là gốc toạ độ, từ đó hãy tìm toạ độ điểm M . Dạng 2 Lập phương trình chính tắc của elip 1. Phương pháp: Phương trình chính tắc của Elip có dạng:   2 2 2 2 : 1 x y E a b + = với 2 2 2 b a c = - ; ... 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Lập phương trình chính tắc của elip đi qua điềm A(5;0) và có một tiêu điềm là F2(3;0) Ví dụ 2: Lập phương trình chính tắc của Elip, biết: a) Elip đi qua điểm 5 2; 3 M æ ö ç ÷ è ø và có một tiêu điểm F1 -2;0. b) Elip nhận F2 5;0 là một tiêu điểm và có độ dài trục nhỏ bằng 4 6 . c) Elip có độ dài trục lớn bằng 2 5 và tiêu cự bằng 2. d) Elip đi qua hai điểm M 2; 2 -  và N - 6;1. Ví dụ 3: Lập phương trình chính tắc của Elip, biết: a) Elip có tổng độ dài hai trục bằng 8 và tâm sai 1 2 e = . b) Elip có tâm sai 5 3 e = và hình chữ nhật cơ sở có chu vi bằng 20. c) Elip có tiêu điểm F1 -2;0 và hình chữ nhật cơ sở có diện tích bằng 12 5 . Ví dụ 4: Lập phương trình chính tắc của Elip, biết: a) Elip đi qua điểm M - 5;2 và khoảng cách giữa hai đường chuẩn bằng 10. b) Elip có tâm sai 3 5 e = và khoảng cách từ tâm đối xứng của nó đến một đường chuẩn bằng 25 3 .
c) Elip có độ dài trục lớn bằng 10 và phương trình một đường chuẩn là 25 4 x = . d) Khoảng cách giữa các đường chuẩn bằng 36 và bán kính qua tiêu điểm của điểm M thuộc Elip là 9 và 15. Ví dụ 5 : Lập phương trình chính tắc của Elip, biết: a) Elip có hình chữ nhật cơ sở nội tiếp đường tròn   2 2 C x y : 41 + = và đi qua điểm A0;5. b) Elip có hình chữ nhật cơ sở nội tiếp đường tròn   2 2 C x y : 21 + = và điểm M 1;2 nhìn hai tiêu điểm của Elip dưới một góc 0 60 . c) Một cạnh hình chữ nhật cơ sở của Elip nằm trên d x: 5 0 - = và độ dài đường chéo hình chữ nhật bằng 6. d) Tứ giác ABCD là hình thoi có bốn đỉnh trùng với các đỉnh của Elip. Bán kính của đường tròn nội tiếp hình thoi bằng 2 và tâm sai của Elip bằng 1 2 . Ví dụ 6: Lập phương trình chính tắc của Elip, biết a) Tứ giác ABCD là hình thoi có bốn đỉnh trùng với các đỉnh của Elip. Đường tròn tiếp xúc với các cạnh của hình thoi có phương trình   2 2 C x y : 4 + = và AC BD = 2 , A thuộc Ox . b) Elip có độ dài trục lớn bằng 8 và giao điểm của Elip với đường tròn   2 2 C x y : 8 + = tạo thành bốn đỉnh của một hình vuông. c) Elip có tâm sai 1 3 e = và giao điểm của Elip với đường tròn   2 2 C x y : 9 + = tại bốn điểm A , B , C , D sao cho AB song song với Ox và AB BC = 3 . d) Elip có độ dài trục lớn bằng 4 2 , các đỉnh trên trục nhỏ và các tiêu điểm của Elip cùng nằm trên một đường tròn. Ví dụ 7: Lập phương trình chính tắc của Elip, biết a) Elip có hai đỉnh trên trục nhỏ cùng với hai tiêu điểm tạo thành một hình vuông có diện tích bằng 32. b) Elip có một đỉnh và hai tiêu điểm tạo thành một tam giác đều và chu vi hình chữ nhật cơ sở của Elip bằng 12 2 3  + . c) Elip đi qua điểm M 2 3;2 và M nhìn hai tiêu điểm của Elip dưới một góc vuông. d) Elip đi qua điểm 3 1; 2 M æ ö ç ÷ è ø và tiêu điểm nhìn trục nhỏ dưới một góc 0 60 . Ví dụ 8: Lập phương trình chính tắc của Elip, biết a) Elip có một tiêu điểm F1 - 3;0 và đi qua điểm M , biết tam giác F MF 1 2 có diện tích bằng 1 và vuông tại M .
b) Elip đi qua ba đỉnh của tam giác đều ABC . Biết tam giác ABC có trục đối xứng là Oy , A0;2 và có diện tích bằng 49 3 12 . c) Khi M thay đổi trên Elip thì độ dài nhỏ nhất của OM bằng 4 và độ dài lớn nhất của MF1 bằng 8 với F1 là tiêu điểm có hoành độ âm của Elip. Ví dụ 2. Lập phương trình chính tắc của hypebol ( ) H , biết rằng ( ) H có một tiêu điểm là 2 F (5;0) và ( ) H đi qua điểm A( 3;0) - . Tìm điểm M thuộc ( ) H có hoành độ dương sao cho khoảng cách từ M đến gốc toạ độ là nhỏ nhất. Ví dụ 3. Cho parabol ( ) P có phương trình ở dạng chính tắc và ( ) P đi qua điểm A(8;8) . a) Viết phương trình của ( ) P . b) Tìm toạ độ tiêu điểm F , phương trình đường chuẩn D và tham số tiêu p của ( ) P . c) Cho điểm M thuộc ( ) P và có hoành độ bằng 3 . Tính độ dài đoạn thẳng MF. Dạng 3: Lập phương trình chính tắc cảu Hepebol và tìm các thuộc tính của Hypebol Ví dụ 1: Lập phương trình chính tắc của hypebol biết: a) Nửa trục thực bằng 4 , nửa tiêu cự bằng 10. b) Tiêu cự bằng một tiệm cận là 2 3 y x = . c) Tâm sai e = 5 và hypebol qua điểm M  10 6; . Ví dụ 2: Cho hypebol   2 2 1 16 9 x y - = H a) Tìm độ dài trục ảo, trục thực, tâm sai, tiêu điểm 1 2 F F, của hypebol, vẽ hypebol H  b) Tìm trên H  những điểm M sao cho MF MF 1 2 ^ . Ví dụ 3: Cho hypebol:   2 2 1 4 x - = y H a) Định tiêu điểm. Viết phương trình các tiệm cận. b) Cho M x y H  0 0 ; Î  . Tính tích số khoảng cách từ M đến các tiệm cận. Ví dụ 4: a) Lập phương trình chính tắc của hypebol với tổng hai bán trục là a b + = 7 hai tiệm cận 3 4 y x = ± b) Tính độ dài hai bán trục.Vẽ H  . c) Lập phương trình các tiếp tuyến của H  , biết rằng tiếp tuyến song song d x y : 5 4 10 0 - + = . Ví dụ 5. Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kì trên   2 2 2 2 : 1 x y H a b - = đến hai tiệm cận là một hằng số.