Tiêu đề CHƯƠNG I - PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - PHẦN 4.doc ✅

Ví dụ 4: Giải hệ phương trình  2 2 y2x11x21y yxy112yx1      x,yℝ Phân tích: Với hệ này ta quan sát thấy trong hệ cả hai phương trình đều liên quan đến hai đại lượng đó là 1x,1y nên ta có thể ẩn phụ hóa : a1x b1y      2 2 xa1 yb1      . Khi đó ta sẽ có hệ phương trình mới:   2 22 2224 b12a11a2b babb2b1a1       . Với hệ mới ta để ý đến phương trình thứ hai trong hệ là một phương trình bậc hai theo biến 2b nên ta có quyền hy vọng bắt nhân tử từ phương trình này. Cụ thể ta sẽ có : 2224422babb2b1a11aba2aba10 . Ta có 222222ba2a4a1a2a2 . Điều này đã chứng tỏ được phương trình thứ hai trong hệ mới tách được nhân tử và như thế hệ hoàn toàn được giải quyết. Lời giải : Điều kiện : x1 y1     . Đặt ax1 , by1      a,b0 . Ta có : 2 2 xa1 yb1      . Khi đó hệ phương trình đã cho trở thành :     22 2222 2224422 b12a11a2bb12a11a2b1 babb2b1a11aba2aba102       . Từ 2 ta có 22222ba2a4a1a2a2 . Do đó ta có 2 222ba1abb102ba1 vì 22abb10 . Thay vào 2ba1 vào 1 ta có: 223aa32a13aa12aa10
222aa123aa120aa130 aa1aa1       15 a 2 15 a 2       . Đối chiếu điều kiện ta có : 215325 ab 22   . Vậy ta sẽ có : 153515 ax1x 222 32532515 y1y1y 222         . Đối chiếu điều kiện của hệ ta có nghiệm của hệ là 1515x,y; 22     . Bình luận: Đây là một cách đặt ẩn phụ thường gặp trong hệ chứa căn thức và không khó phán đoán. Xuất phát điểm của nó là dựa trên một phương trình tách được nhân tử và sử dụng phép thế để tạo ra điều kiện ràng buộc trong hê. Ví dụ 5: Giải hệ phương trình   22 3 2 23x5yxy35x3y3 xyxy18xy2       x,yℝ Phân tích : Với hệ này ta nhận xét thấy xuất hiện các đại lượng 22 xy,xy,xy nên ta nghỉ đến phép đặt ẩn phụ như sau: 22 2 222 ab x axyaxy 2 bxybxyab y 2           . Khi đó ta sẽ có phương trình thứ nhất trong hệ trở thành : 22222222 abababab 235ab3533 2222      2222332224baab3a4b38ab2ab3a12b90 32232222 8ab4ab6ab2ab4ab3a6ab12b90
22222ab2ab4b3a2ab4b332ab4b30 222ab4b32aba30 . Vậy tới đây ta chỉ còn thực hiện phép thế vào phương trình thứ hai trong hệ. Vậy xem như hệ đã được giải quyết. Lời giải : Điều kiện : xy0 xy0     . Đặt axy , bxy      a,b0 . Từ phép đặt ta có : 22 22 ab x 2 ab y 2         . Lúc đó hệ phương trình đã cho trở thành hệ phương trình :  22222222 32 abababab 235ab3533 2222 ab18b2           2222 32 24baab3a4b3 ab18b2        3322 32 8ab2ab3a12b90 ab18b2       32232222 32 8ab4ab6ab2ab4ab3a6ab12b90 ab18b2        2222 32 2ab2ab4b3a2ab4b332ab4b30 ab18b2         22 32 2ab4b32aba30 ab18b2       2 32 2aba30 ab18b2      vì 2 2abb30 2 32 22 a3 b 2a a3a3 a182 2a2a           2 32 232 a3 b 2a 3a2a364a2aa4a3        2 65422 a3 b 2a 27a56a133a224a165a72a270      
 2 2432 a3 b 2a a127a2a102a18a270        2 2 22422 a3 b 2a a126aaa9a119a260          2 a3 a1b 2a b2 a1        vì 2242226aaa9a119a260 5 x xy1xy1 2 xy43xy2 y 2          . Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm của hệ là 53x,y; 22     . Bình luận : Bài toán nhận ra ẩn phụ không khó, chú ý rằng cách đặt ẩn phụ kiểu “tổng, hiệu” thế này cũng thường được sử dụng trong bài toán hệ căn thức. Độ khó của hệ ta đang xét là khâu kiểm soát tính toán và khai triển hằng đẳng thức hợp lí. Ví dụ 6: Giải hệ phương trình  22 22 3y37x1073xy553 2xx4xy3x2y6x4       x,yℝ Phân tích : Với hệ này, chúng ta nhận thấy hệ chứa ba căn thức nhưng hai căn thức ở phương trình thứ nhất có ẩn phụ hóa cũng không giúp chúng ta được gì. Căn thức ở phương trình thứ hai nếu chúng ta ẩn phụ hóa nó thì khả năng biễu diễn biến x hoặc biến y theo ẩn phụ mới và biến cũ sẽ có tác dụng hơn vì lúc đó nó chuyển về phương trình đa thức quen thuộc có thể nhắm đến được cách phân tích nhân tử. Đối với bài toán vì trong phương trình thứ hai có chứa duy nhất y nên ta sẽ rút y theo biến x và ẩn phụ mới. Cụ thể ta có : Đặt 2txy3yxt3 . Khi đó phương trình thứ hai trong hệ sẽ được viết lại thành phương trình sau : 2222xx4tx2xt36x24 2222t2xx4t32xx100 .