Tiêu đề Xem kĩ phần chuỗi - Đề 222 DT - 1651.pdf ✅

GIẢI TÍCH HCMUT Biên soạn: ĐẶNG TIẾN QUANG GIẢI CHI TIẾT ĐỀ CUỐI KỲ HK 222 DT - MÃ ĐỀ 1651 PHẦN 1: 25 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Cho mặt cong S có phương trình z = f(x, y) = 26y √ x. Hãy trả lời các câu hỏi từ Câu 1 đến Câu 4. Câu 1. Tìm câu trả lời sai khi tính các đạo hàm của hàm f tại điểm (25, 5): A. fy = 130 B. fx = 13 C. fxx = − 26 5 D. fyy = 0 E. fxy = 13 5 Hướng dẫn Câu 1: fx = 26y. 1 2 √ x , fx(25, 5) = 13 fy = 26√ x, fy(25, 5) = 130 fxx = (fx)x, fxx(25, 5) = d dx 26 × 5 × 1 2 √ x x=25 = −0.26 6= − 26 5 ⇒ chọn C Câu 2. Độ dốc lớn nhất của mặt cong S tại điểm (25, 5, 650) là: A. √ 101 B. Một đáp án khác C. 13√ 101 D. 13√ 33 E. √ 33 Hướng dẫn Câu 2: Độ dốc lớn nhất = k∇f(25, 5)k = q f 2 x + f 2 y = √ 132 + 1302 = 13√ 101 ⇒ chọn C Cần nhớ: Độ dốc = Hệ số góc của tiếp tuyến = Tốc độ thay đổi = Đạo hàm Tốc độ thay đổi của f theo hướng vector −→u (a, b) là D−→u f = fx.a + fy.b √ a 2 + b 2 Tốc độ thay đổi của f theo hướng vector −→u đạt giá trị lớn nhất khi −→u = k∇f, k > 0 ( −→u %% ∇f) Tốc độ thay đổi lớn nhất của f = k∇fk Câu 3. Tiếp diện của mặt cong S tại điểm (25, 5, 650) có phương trình là: A. z = 13x + 130y + 650 B. z = 13x + 130y + 325 C. z = 13x + 130y − 650 D. z = 13x + 130y − 325 E. Một đáp án khác. Hướng dẫn Câu 3: Phương trình mặt phẳng tiếp diện của S tại điểm (25, 5, 650) là: z − 650 = 13(x − 25) + 130(y − 5) ⇔ z = 13x + 130y − 325 ⇒ chọn D Cần nhớ: Tiếp diện của mặt z = f(x, y) tại điểm (x0, y0, z0) có phương trình là: z − z0 = fx(x0, y0)(x − x0) + fy(x0, y0)(y − y0) Câu 4. Trên giao tuyến của mặt cong S và mặt phẳng x = 13, điểm thấp nhất có tung độ là: A. 5 B. 130. C. Một đáp án khác. D. 25 E. 26 Hướng dẫn Câu 4: Giao tuyến: ( z = 26y √ x x = 13 ⇔ ( x = 13 z = 26√ 13y . Hàm z = 26√ 13y không có cực trị ⇒ chọn C h Fanpage: www.facebook.com/giaitich.hcmut/ Trang 1
GIẢI TÍCH HCMUT Cho miền D trong mặt phẳng Oxy giới hạn bởi 2 đường tròn x 2 + y 2 = 10x, x2 + y 2 = 10y và trục Oy trong hình vẽ. Hãy trả lời các câu hỏi từ Câu 5 đến Câu 8. Câu 5. Phương trình tham số cung AB là: O x y A B A. x = 5(1 + cos(t)), y = 5 sin(t), π/2 ≤ t ≤ π B. x = 5(1 + cos(t)), y = 5 sin(t), π/4 ≤ t ≤ π/2 C. x = 5 cos(t), y = 5(1 + sin(t)), π/4 ≤ t ≤ π/2 D. Các câu khác sai. E. x = 5 cos(t), y = 5(1 + sin(t)), 0 ≤ t ≤ π/2 Hướng dẫn Câu 5: x 2 + y 2 = 10y ⇔ x 2 + (y − 5)2 = 52 _ AB : ( x = 5 cos(t) y − 5 = 5 sin(t) , 0 ≤ t ≤ π/2 ⇔ ( x = 5 cos(t) y = 5(1 + sin(t)) , 0 ≤ t ≤ π/2 ⇒ chọn E Câu 6. Một sợi dây hình dạng cung AB có hàm mật độ tuyến tính tại điểm (x, y) là ρ(x, y) = 4x + y. Khối lượng của sợi dây (bỏ qua đơn vị tính) bằng giá trị nào dưới đây? A. Một đáp án khác B. 98.4292 C. 141.4214 D. 101.5708. E. 164.2699 Hướng dẫn Câu 6: mAB = Z _ AB ρ(x, y) ds = Z _ AB (4x + y) ds = π/2 Z 0 4 × 5 cos(t) + 5(1 + sin(t))p (−5 sin(t))2 + (5 cos(t))2 dt = π/2 Z 0 20 cos(t) + 5 + 5 sin(t) .5 dt = bấm máy tính = 164.2699082 ⇒ chọn E Câu 7. Trong hệ trục tọa độ cực x = r cos φ, y = r sin φ, miền D được mô tả bởi: A. Một kết quả khác B. π/2 ≤ φ ≤ π, 10 sin φ ≤ r ≤ 10 cos φ C. π/4 ≤ φ ≤ π/2, 10 cos φ ≤ r ≤ 10 sin φ D. π/2 ≤ φ ≤ π, 10 cos φ ≤ r ≤ 10 sin φ E. π/4 ≤ φ ≤ π/2, 10 sin φ ≤ r ≤ 10 cos φ h Fanpage: www.facebook.com/giaitich.hcmut/ Trang 2
GIẢI TÍCH HCMUT Hướng dẫn Câu 7: _ OA : x 2 + y 2 = 10x ⇔ r 2 = 10.r cos φ ⇒ r = 10 cos φ _ AB : x 2 + y 2 = 10y ⇔ r 2 = 10.r sin φ ⇒ r = 10 sin φ Giao điểm A : ( x 2 + y 2 = 10x x 2 + y 2 = 10y ⇒ xA = yA ⇒ OA : y = x ⇒ φ = π 4 D : ( π/4 ≤ φ ≤ π/2 10 cos φ ≤ r ≤ 10 sin φ ⇒ chọn C Câu 8. Diện tích miền D (bỏ qua đơn vị tính) bằng giá trị nào dưới đây? A. 27.3456 B. Một đáp án khác C. 50 D. 22.6544 E. 25 Hướng dẫn Câu 8: S(D) = Z Z D 1 dxdy = π/2 Z π/4 dφ 10 sin Z φ 10 cos φ r dr = π/2 Z π/4 1 2 102 sin2 φ − 102 cos2 φ dφ = 25 ⇒ chọn E Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho khối Ω giới hạn bởi x 2 +y 2 +z 2 ≤ 50, z ≥ p x 2 + y 2, y ≥ x √ 3. Hãy trả lời các câu hỏi từ Câu 9 đến Câu 14. Câu 9. Trong tọa độ trụ x = r cos φ, y = sin φ, z = z, khối Ω được mô tả bởi: A. π/3 ≤ φ ≤ 4π/3, 0 ≤ r ≤ 5, r ≤ z ≤ √ 5 − r 2 B. −2π/3 ≤ φ ≤ π/3, 0 ≤ r ≤ 5, 0 ≤ z ≤ √ 5 − r 2 C. −2π/3 ≤ φ ≤ π/3, 0 ≤ r ≤ 5, r ≤ z ≤ √ 5 − r 2 D. Các câu khác sai. E. π/3 ≤ φ ≤ 4π/3, 0 ≤ r ≤ 5, 0 ≤ z ≤ √ 5 − r 2 Hướng dẫn Câu 9: Giao tuyến: ( x 2 + y 2 + z 2 = 50 z = p x 2 + y 2 ⇔ ( x 2 + y 2 = 25 z = 5 Dxy : ( x 2 + y 2 ≤ 25 y ≥ x √ 3 ⇔ Dxy : ( 0 ≤ r ≤ 5 π/3 ≤ φ ≤ 4π/3 p x 2 + y 2 ≤ z ≤ p 50 − x 2 − y 2 ⇔ r ≤ z ≤ √ 50 − r 2 ⇒ chọn A h Fanpage: www.facebook.com/giaitich.hcmut/ Trang 3
GIẢI TÍCH HCMUT Câu 10. Biết khối lượng riêng tại mỗi điểm (x, y, z) ∈ Ω là ρ(x, y, z) = p x 2 + y 2, khối lượng của khối Ω (bỏ qua đơn vị tính) bằng: A. 423.9626 B. Một kết quả khác C. 269.903 D. 280.189 E. 560.378 Hướng dẫn Câu 10: m(Ω) = Z Z Z Ω ρ(x, y, z) dV = Z Z Z Ω p x 2 + y 2 dxdydz = 4π/3 Z π/3 dφ Z 5 0 r dr √ 50−r 2 Z r r dz = 4π/3 Z π/3 dφ Z 5 0 r 2 p 50 − r 2 − r dr = π Z 5 0 r 2 p 50 − r 2 − r dr = 280.1889917 ⇒ chọn D Câu 11. Tính tích phân trên Ω của hàm f(x, y, z) = p x 2 + y 2 + z 2 bằng cách đổi sang tọa độ cầu x = ρ sin θ cos φ, y = ρ sin θ sin φ, z = ρ cos θ, tích phân có dạng I = Z φ2 φ1   Z θ2 0   ρ(φ,θ) Z 0 f(φ, θ, ρ) dρ   dθ   dφ. Các cận: φ1, φ2, θ2, ρ(φ, θ) và hàm f(φ, θ, ρ) theo thứ tự là: A. − 2π 3 , π 3 , π 4 , 5 √ 2, ρ2 sin θ B. Một đáp án khác C. π 3 , 4π 3 , π 4 , 5, ρ3 sin θ D. π 3 , 4π 3 , π 4 , 5 √ 2, ρ3 sin θ E. π 3 , 4π 3 , π 3 , 5 √ 2, ρ3 sin θ Hướng dẫn Câu 11: Góc φ trong tọa độ cầu giống với góc φ trong tọa độ trụ ⇒ φ1 = π 3 , φ2 = 4π 3 z = p x 2 + y 2 : tan θ2 = p x 2 + y 2 z = 1 ⇒ θ2 = π 4 x 2 + y 2 + z 2 = 50 ⇔ ρ 2 = 50 ⇒ ρ = √ 50 = 5√ 2 f(φ, θ, ρ) = p ρ 2.ρ2 sin θ = ρ 3 sin θ ⇒ chọn D Câu 12. Giá trị của tích phân I ở câu trên bằng: A. 108.4409 B. Một kết quả khác C. 54.2204 D. 575.0945 E. 813.3064 Hướng dẫn Câu 12: I = 4π/3 Z π/3   π/4 Z 0   5 √ Z 2 0 ρ 3 sin θ dρ   dθ   dφ = 4π/3 Z π/3   π/4 Z 0 5 4 sin θ dθ   dφ = 4π/3 Z π/3 5 4 1 − √ 2 2 ! dφ = 575.09944903 ⇒ chọn D h Fanpage: www.facebook.com/giaitich.hcmut/ Trang 4