Tiêu đề Chương 5_Bài 2&3_ _Đề bài_Toán 10_CD.pdf ✅

BÀI 2. HOÁN VỊ- CHỈNH HỢP – TỔ HỢP A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I. HOÁN VỊ 1. Định nghĩa Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n   ). Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó. 2. Số các hoán vị Kí hiệu P n là số các hoán vị của n phần tử. Ta có: ( 1)...2.1 P n n n = − . Quy ước: Tích 1.2...n được viết là n! (đọc là n giai thừa), tức là n n ! 1.2... = . Như vậy ! P n n = . II. CHỈNH HỢP 1. Định nghĩa Cho tập hợp A gồm n phần tử và một số nguyên k với 1  k n . Kết quả của việc lấy k phần tử từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho. 2. Số các chỉnh hợp Trong trường hợp tổng quát, đối vối tập hợp A có n phần tử (n 1) , ta làm tương tự như trên để tạo ra một chỉnh hợp chập k của n phần tử đó (1  k n) ) và số các chỉnh hợp chập k của n phần tử trong tập hợp A là: n n n k ( −  − + 1 1 ) ( ) Kí hiệu k An là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử (1  k n) . Ta có: ( 1 1 ) ( ) k A n n n k n = −  − + . B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA Câu 1. Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8 , ta lập được bao nhiêu số tự nhiên: a. Gồm 8 chữ số đôi một khác nhau? b. Gồm 6 chữ số đôi một khác nhau? Câu 2. Trong chương trình ngoại khoá giáo dục truyền thống, 60 học sinh được trường tổ chức cho đi xem phim. Các ghế ở rạp được sắp thành các hàng. Mỗi hàng có 20 ghế. a. Có bao nhiêu cách sắp xếp 20 bạn để ngồi vào hàng đầu tiên? b. Sau khi sắp xếp xong hàng đầu tiên, có bao nhiêu cách sắp xếp 20 bạn để ngồi vào hàng thứ hai? c. Sau khi sắp xếp xong hai hàng đầu, có bao nhiêu cách sắp xếp 20 bạn để ngồi vào hàng thứ ba? Câu 3. Bạn Việt chọn mật khẩu cho email của mình là một dãy gồm 8 kí tự đôi một khác nhau, trong đó có 3 kí tự đầu tiên là 3 chữ cái trong bảng gồm 26 chữ cái in thường và 5 kí tự tiếp theo là chữ số. Bạn Việt có bao nhiêu cách tạo ra mật khẩu? Câu 4. Mỗi máy tính tham gia vào mạng phải có một địa chỉ duy nhất, gọi là địa chỉ IP, nhằm định danh máy tính đó trên Internet. Xét tập hợp A gồm các địa chỉ IP có dạng 192.168 .abc. deg, trong đó a, d là các chữ số khác nhau được chọn ra từ các chữ số 1,2 , còn b, c, e, g là các chữ số đôi một khác nhau được chọn ra từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 . Hỏi tập hợp A có bao nhiêu phần tử? Câu 5. Một nhóm 22 bạn đi chụp ảnh kỷ yếu. Nhóm muốn trong bức ảnh có 7 bạn ngồi ở hàng đầu và 15 bạn đứng ở hàng sau. Có bao nhiêu cách xếp vị trí chụp ảnh như vậy?
BÀI 3. TỔ HỢP A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. Định nghĩa: HĐ1: Đội tuyển bóng bàn nam của trường có 4 bạn Mạnh, Phong, Cường, Tiến. Huấn luyện viên muốn chọn 2 bạn để tạo thành một cặp đấu đôi nam. a) Nêu 3 cách chọn cặp đấu. b) Mỗi cặp đấu là một tập con gồm bao nhiêu phần tử được lấy ra từ tập hợp gồm 4 bạn nói trên? Ví dụ 1 Bạn Quân có 4 chiếu áo sơ mi khác nhau là áo vàng, áo xanh, áo trắng và áo nâu. Bạn muốn chọn 2 chiếc áo để mặc đi du lịch. Viết các tổ hợp chập 2 của 4 chiếc áo. Giải Các tổ hợp chập 2 của 4 chiếc áo là: {áo vàng; áo xanh}, {áo vàng; áo trắng}, {áo vàng; áo nâu}, {áo xanh; áo trắng}, {áo xanh; áo nâu}, {áo trắng; áo nâu}. 2. Số các tổ hợp: Nhận xét: Số chỉnh hợp chập k của n phần từ nhiều gấp k! lần số tổ hợp chập k của n phần tử đó. Ví dụ 2 Chứng minh ( ) ! C ! ! k n n k n k = − với 1  k n . Giải Ta có ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 1 ... 1 ...2.1 ! A 1 ... 1 ...2.1 ! k n n n n k n k n n n n k n k n k − − + − = − − + = = − − . Do đó ( ) A ! C ! ! ! k k n n n k k n k = = − . Quy ước: 0 0! 1; C 1 = = n . Với những quy ước trên, ta có công thức sau : Ví dụ 3 Lớp 10A có 18 bạn nữ và 20 bạn nam. a) Có bao nhiêu cách chọn 3 bạn nữ trong 18 bạn nữ ? b) Có bao nhiêu cách chọn 5 bạn nam trong 20 bạn nam? c) Có bao nhiêu cách chọn một tổ xung kích gồm 3 bạn nữ và 5 bạn nam? Giải a) Mỗi cách chọn 3 bạn nữ trong 18 bạn nữ là một tổ hợp chập 3 của 18 phần tử, do đó có 3 C18 cách chọn. Cho tập hợp A gồm n phần tử và một số nguyên k với 1  k n . Mỗi tập con gồm k phần tử được lấy ra từ n phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đó. Kí hiệu C k n là số tổ hợp chập k của n phần tử với 1  k n . Ta có A C ! k k n n k = . A C ! k k n n k = với 0   k n .
b) Mỗi cách chọn 5 bạn nam trong 20 bạn nam là một tổ hợp chập 5 của 20 phần tử, do đó có 5 C20 cách chọn. c) Số cách chọn một tổ xung kích gồm 3 bạn nữ và 5 bạn nam là: 3 5 18 20 C C. 816.15540 12651264 = = (cách chọn) 3. Tính chất của các số k Cn Hoạt động 4. Cho hai số tự nhiên n và k . a) So sánh k Cn và (0 ) n k C k n n −   ; b) So sánh 1 1 1 k k C C n n − − − + và (1 ) k C k n n   . Ta có hai đẳng thức sau: (0 ) k n k C C k n n n − =   và ( ) 1 1 1 1 k k k C C C k n n n n − − − + =   B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA Câu 1. Cho 8 điểm sao cho không có 3 điểm nào thẳng hàng. Có bao nhiêu tam giác với 3 đỉnh là 3 điểm trong 8 điểm đã cho? Câu 2. Có 10 đội tham gia một giải bóng đá. Có bao nhiêu cách xếp trận đấu vòng tính điểm sao cho hai đội chỉ gặp nhau đúng một lần? Câu 3. Khối 10 có 16 bạn nữ và 18 bạn nam tham gia đợt tình nguyện Mùa hè xanh. Đoàn trường dự định lập một tổ trồng cây gồm 3 học sinh có cả nam và nữ. Có bao nhiêu cách lập một tổ trồng cây như vậy? Câu 4. Một quán nhỏ bày bán hoa có 50 bông hồng và 60 bông cúc. Bác Ngọc muốn mua 5 bông hoa gồm cả hai loại hoa trên. Bác Ngọc có bao nhiêu cách chọn hoa? Câu 5. Tính tổng 12 13 14 C C C 15 15 16 + + C. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1. Hoán vị 1. Phương pháp Cho tập hợp A gồm n phần tử (n 1  ) Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó. Kí hiệu n P là số hoán vị của n phần tử. Ta có công thức sau: ! P n n = 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Có bao nhiêu số có năm chữ số khác nhau lập nên từ năm chữ số 1, 2, 3, 4, 5 Ví dụ 2: Người ta xếp 5 quyển sách Toán, 4 quyển sách Hóa và 3 quyển sách Lý lên một giá sách theo từng môn. Hỏi có nao nhiêu cách sắp xếp? Ví dụ 3: Một nhóm học sinh gồm 5 nam và 5 nữ xếp thành một hàng ngang. Số cách xếp để cho học sinh nam và nữ xen kẽ nhau. Ví dụ 4: Có bao nhiêu cách dán 5 con tem khác nhau vào 5 phong bì khác nhau và mỗi phong bì một tem? Ví dụ 5: Có bao nhiêu cách xếp 5 nam và 3 nữ ngồi trên một băng ghế dài sao cho nam ngồi kề nhau và nữ ngồi kề nhau? Dạng 2. Chỉnh hợp 1. Phương pháp Cho tập hợp A gồm n phần tử (n 1 .  ) Mỗi cách sắp xếp k phần tử của A theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của tập A.
Số chỉnh hợp chập k của n phần tử: = − − − + =   − k n n ! A n(n 1)(n 2)...(n k 1) , 1 k n (n k)! 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Từ 10 bông hoa có chủng loại khác nhau và 4 cái lọ khác nhau, có bao nhiêu cách cắm 4 bông hoa vào 4 lọ và mỗi lọ 1 bông hoa? Ví dụ 2: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể thành lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số khác nhau và trong đó phải có chữ số 1? Ví dụ 3: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập thành bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số khác nhau đôi một? Ví dụ 4: Từ 10 điểm phân biệt và không có ba điểm nào thẳng hàng, có thể lập được bao nhiêu vectơ? Ví dụ 5: Một lớp có 30 học sinh gồm 20 nam và 10 nữ. Có bao nhiêu cách chọn 2 học sinh nam thi toán, lý và 2 học sinh nữ thi hóa, sinh? (Mỗi học sinh thi một môn). Ví dụ 6: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể thành lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số khác nhau trong đó phải có chữ số lẻ? Ví dụ 7: Có bao nhiêu số có hai chữ số, mà các chữ số đều là số lẻ và khác nhau? Ví dụ 8: Có thể có tối đa là bao nhiêu số điện thoại gồm 7 chữ số và các chữ số đều khác nhau? Ví dụ 9: Có 10 môn học và một ngày học 5 tiết (5 tiết học với 5 môn khác nhau). Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các môn học trong ngày đó? Ví dụ 10: Cho tập A 1,2,3,...,9 . =   Có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số, các chữ số đôi một khác nhau và các chữ số 2; 4; 5 đồng thời có mặt? Dạng 3. Tổ hợp Ví dụ 1: Cho tập M có 10 phần tử. Có bao nhiêu tập con có 2 phần tử từ tập M Ví dụ 2: Có bao nhiêu cách phân công hai bạn từ một tổ có 10 bạn để làm trực nhật? Ví dụ 3: Tìm số đường chéo của một đa giác lồi 15 cạnh Ví dụ 4: Có bao nhiêu cách phân công 8 bạn học sinh thành hai nhóm: một nhóm có 5 bạn, nhóm kia có 3 bạn? Ví dụ 5: Lớp 11 của một trường THPT có 45 học sinh. Cần chọn 4 bạn vào Đội Cờ đỏ và 3 bạn vào Ban Chấp hành Đoàn. Hỏi có bao nhiêu cách chọn? Ví dụ 6: Từ 10 điểm phân biệt trong mặt phẳng và không có ba điểm nào thẳng hàng, có thể vẽ được bao nhiêu tam giác? Ví dụ 7: Số đường chéo của một đa giác có 10 cạnh là bao nhiêu? Ví dụ 8: Một người nông dân có 10 cây giống khác nhau gồm 6 cây xoài và 4 cây mít. Người ấy muốn chọn 4 cây để trồng sao cho phải có đủ 2 loại xoài và mít. Hỏi người ấy có mấy cách để chọn? Ví dụ 9: Một lớp có 20 học sinh trong đó có 15 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập một đội gồm 4 học sinh trong đó có ít nhất một nữ? Ví dụ 10: Có 20 quyển sách khác nhau gồm 15 quyển sách toán và 5 quyển sách lý. Có bao nhiêu cách chọn 5 quyển sách toán và 2 quyển sách lý để xếp có thứ tự lên 1 kệ sách dài? Ví dụ 11: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể thành lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau trong đó có 3 chữ số lẻ và 2 chữ số chẵn? Ví dụ 12: Một học sinh có 10 cây viết khác nhau. Học sinh đó có bao nhiêu cách chọn 3 trong 10 cây viết đó để đi học?