Tiêu đề 015_Tuyển sinh 10_Toán Chuyên_mới_tỉnh_Đà Nẵng_25-26 (1).pdf ✅

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM HỌC 2025-2026 Môn thi: TOÁN (chuyên) Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) (Dành cho thí sinh thi vào Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn) Bài 1: Cho biểu thức 2 3 11 4 2 2 4 : 1 2 3 2 2 x x x x P x x x x x x x     + − − + = + − +         + + + + + với x x   0, 4 Rút gọn biểu thức P và tìm tất cả các giá trị của x để P là số nguyên Bài 2: Trên cùng một mặt phẳng tọa độ, cho Parabol 2 ( ) : P y x = và đường thẳng (d): y = kx – k + 5 a) Chứng minh rằng (d) luôn đi qua một điểm cố định M và cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B với mọi giá trị của tham số k. b) Cho điểm C(1; 2), tìm tất cả giá trị của k để các tam giác MAC và MBC có diện tích bằng nhau. Bài 3: a) Giải phương trình 2 8 16 7 (8 3) 5 1 x x x x + − = + − b) Giải hệ phương trình 2 2 3 ( 10 ) ( 9 10 ) 2 16 6 1 4 (3 2 ) 2 2 x x xy y y x x y x y y xy x x  − + = − + +   − + − = − −  Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O), các đường phân giác của tam giác cắt nhau tại I. Đường thẳng vuông góc với AI tại I lần lượt cắt các đường thẳng BC, AB, AC tại các điểm D, E, F. Đường tròn (O) cắt tia AI tại điểm N (khác A) và cắt đoạn thẳng DN tại điểm K (khác N). a) Chứng minh rằng tứ giác BEIK nội tiếp b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF cắt đường tròn (O) tại điểm P (khác A). Chứng minh rằng các đường thẳng PN, BC, IK đồng quy. Bài 5: Trên tia phân giác của góc nhọn xAy lấy điểm O (khác A) và vẽ đường tròn (O) tiếp xúc với các tia Ax, Ay lần lượt tại B, C. Trên các tia Ax, Ay lần lượt lấy các điểm D, E sao cho AB < AD < AE. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng DE. Các đoạn thẳng AM, BC cắt nhau tại N. Chứng minh rằng ON vuông góc với DE. Bài 6: a) Cho các số thực dương a, b thỏa mãn ab b + 1 2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2009 2024 2025 ab a T a b b = + + b) Tìm tất cả các số nguyên dương k sao cho tồn tại cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn 2 2 x kxy y − + + =1 0
ĐÁP ÁN Câu 1: Với điều kiện x > 0 và x  4 , khai triển và rút gọn ta được 2 3 11 4 2 2 4 : 1 2 3 2 2 x x x x P x x x x x x x     + − − + = + − +         + + + + + 2( 2) 3 .( 1) (11 4) 2 : ( 1)( 2) ( 2) x x x x x x P x x x x     + + + − + − =         + + + 3 6 2 : ( 2)( 1) 2 x x x P x x x − − = + + + 3 ( 2) ( 2) 3 . ( 2)( 1) ( 2) 1 x x x x P x x x x − + = = + + − + Với điều kiện x > 0, ta chứng minh được 3 0 3 1 x P x  =  + Mà P là số nguyên nên P1;2 + Với P = 1 ta có 3 1 1 ( ) 1 4 x x tm x =  = + + Với P = 2 ta có 3 2 4( ) 1 x x ktm x =  = + Vậy 1 4 x = là giá trị cần tìm để P là số nguyên. Câu 2: a) Dễ thấy (d) luôn đi qua điểm M(1; 5) Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) 2 x kx k = − + 5 2  − + − = x kx k 5 0(1) Phương trình (1) là phương trình bậc hai ẩn x, ta có 2 2 2  = − − = − + = − +     k k k k k x R 4( 5) 4 20 ( 2) 16 16 0, Do đó phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt, hay đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B với mọi giá trị của tham số k.

2  − + + = ( 2 )( 2 5 ) 0 x y x x y y Nếu 2 x x y y + + = 2 5 0 thì 2 ( ) 4 0 x y y + + = ta được x = y = 0 (không thỏa mãn hệ phương trình) Xét trường hợp chính x y = 2 , thay vào phương trình thứ hai của hệ phương trình ban đầu ta được 3 2 3 2 4 3 1 (3 2 ) 2 2 x x x x x x − + − = − − Hiển nhiên x = 0 không phải nghiệm phương trình Xét x  0 chia cả hai vế cho 3 x ta được 2 3 4 3 1 2 (3 2 ) 2 2 x x x x x − + − = − − ( ) 3 1 1 3 1 1 2 2 2 2 x x x x      − + − = − + −         Nếu 1 1 2 2x x −  − thì vế trái nhỏ hơn vế phải Nếu 1 1 2 2x x −  − thì vế trái lớn hơn vế phải Vậy ta có 1 1 2 2x x − = − Từ điều kiện xác định và phương trình x y = 2 ta có 0 1  x Do đó 1 1 0 2 2x x −   − Dấu “=” xảy ra khi 1 1; ( ) 4 x y tm = = Vậy 1 ( ; ) 1; 4 x y   =     là nghiệm duy nhất của hệ phương trình. Câu 4: