Tiêu đề Bài 5.1_Các khái niệm mở đầu_CTST_Lời giải.pdf ✅

BÀI 1. CÁC KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. Cho đoạn thẳng AB. Nều ta chọn điểm A làm điềm đầu, điểm B làm điểm cuối thì ta được đoạn thẳng AB có hướng từ A đến B . Đoạn thẳng có định hướng AB được kí hiệu là  AB và được goi là vectơ  AB . 2 . - Vectơ có điểm đầu là A, điểm cuối B được kí hiệu là  AB , đọc là vectơ (Hinh1)  AB . - Đường thẳng đi qua hai điểm A và B gọi là giá của vectơ  AB . - Độ dài của đoạn thẳng AB gọi là độ dài của vectơ  AB và được ki hiệu là  AB Như vậy ta có: | |  AB AB . 3. Một vectơ khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối có thể viết là , , , ,     a b x y 4. Vectơ có độ dài bằng 1 gọi là vectơ đơn vị. 5. Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau. 6. Nếu hai vectơ cùng phương thì chúng chỉ có thể cùng hướng hoặc ngược hướng. 7. Ba điểm phân biệt A,B,C thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ  AB và  AC cùng phương. 8. Hai vectơ a và b được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài, ki hiệu   a b . 9. Hai vectơ a và b được gọi là đối nhau nếu chúng ngược hướng và có cùng độ dài, kí hiệu    a b . Khi đó, vectơ b đượ goi là vectơ đối của vectơ a . 10. Cho vectơ a và điểm O , ta luôn tìm được một điểm A duy nhất sao cho:    OA a . 11. Với một điểm A bất ki, ta quy ước có một vectơ đặc biệt mà điểm đầu và điểm cuối đều là A . Vectơ này được kí hiệu là  AA và gọi là vectơ-không. Ta ki hiệu vectơ-không là 0  . Như vậy 0         AA BB CC với mọi điểm A, B,C, 12. Vecto-không có độ dài bằng 0 và cùng hướng với mọi vectơ. B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Xác Định Một Vectơ; Phương, Hướng Của Vectơ; Độ Dài Của Vectơ 1. Phương pháp giải.  Xác định một vectơ và xác định sự cùng phương, cùng hướng của hai vectơ theo định nghĩa  Dựa vào các tình chất hình học của các hình đã cho biết để tính độ dài của một vectơ 2. Các ví dụ. Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD . Có bao nhiêu vectơ khác vectơ-không có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của tứ giác. Lời giải Hai điểm phân biệt, chẳng hạn A, B ta xác định được hai vectơ khác vectơ-không là AB, BA   . Mà từ bốn đỉnh A, B, C, D của tứ giác ta có 6 cặp điểm phân biệt do đó có 12 vectơ thỏa mãn yêu cầu bài toán. Ví dụ 2: Chứng minh rằng ba điểm A,B,C phân biệt thẳng hàng khi và chỉ khi AB, AC   cùng phương. Lời giải
Nếu A,B,C thẳng hàng suy ra giá của AB, AC   đều là đường thẳng đi qua ba điểm A,B,C nên AB, AC   cùng phương. Ngược lại nếu AB, AC   cùng phương khi đó đường thẳng AB và AC song song hoặc trùng nhau. Nhưng hai đường thẳng này cùng đi qua điểm A nên hai đường thẳng AB và AC trùng nhau hay ba điểm A,B,C thẳng hàng. Ví dụ 3: Cho tam giác ABC . Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của BC,CA,AB . a) Xác định các vectơ khác vectơ - không cùng phương với MN  có điểm đầu và điểm cuối lấy trong các điểm đã cho. b) Xác định các vectơ khác vectơ - không cùng hướng với AB  có điểm đầu và điểm cuối lấy trong điểm đã cho. c) Vẽ các vectơ bằng vectơ NP  mà có điểm đầu A,B . Lời giải (Hình 1.4) a) Các vectơ khác vectơ không cùng phương với MN  là NM, AB, BA, AP, PA, BP, PB        . b) Các vectơ khác vectơ - không cùng hướng với AB  là AP, PB, NM    . c) Trên tia CB lấy điểm B ' sao cho BB ' = NP Khi đó ta có BB '  là vectơ có điểm đầu là B và bằng vectơ NP  . Qua A dựng đường thẳng song song với đường thẳng NP . Trên đường thẳng đó lấy điểm A' sao cho AA'  cùng hướng với NP  và AA' = NP . Khi đó ta có AA'  là vectơ có điểm đầu là A và bằng vectơ NP  . Ví dụ 4: Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh a . Gọi M là trung điểm của AB , N là điểm đối xứng với C qua D . Hãy tính độ dài của vectơ sau MD  , MN  . Lời giải (hình 1.5) Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông MAD ta có N M P A B C A' B' Hình 1.4

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có trọng tâm G . Gọi I là trung điểm của BC . Dựng điểm B ' sao cho B 'B = AG   . a) Chứng minh rằng BI = IC   b) Gọi J là trung điểm của BB ' . Chứng minh rằng BJ = IG   . Lời giải (hình 1.7) a) Vì I là trung điểm của BC nên BI = CI và BI  cùng hướng với IC  do đó hai vectơ BI  ,IC  bằng nhau hay BI = IC   . b) Ta có B 'B = AG   suy ra B 'B = AG và BB '/ /AG . Do đó BJ, IG   cùng hướng (1). Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên 1 2 IG = AG , J là trung điểm BB ' suy ra 1 ' 2 BJ = BB Vì vậy BJ = IG (2) Từ (1) và (2) ta có BJ = IG   . C. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1: Vectơ có điểm đầu là D , điểm cuối là E được kí hiệu là A. DE. B. DE .  C. ED.  D. DE.  Lời giải Chọn D Câu 2: Cho tam giác ABC. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ - không có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh A, B, C? A. 3. B. 6. C. 4. D. 9. Lời giải Chọn B Đó là các vectơ: AB, BA, BC, CB, CA, AC.       Câu 3: Cho tứ giác ABCD . Có bao nhiêu vectơ khác vectơ - không có điểm đầu và cuối là các đỉnh của tứ giác? A. 4. B. 6. C. 8. D. 12. Lời giải Chọn D Xét các vectơ có điểm A là điểm đầu thì có các vectơ thỏa mãn bài toán là AB, AC, AD     có 3 vectơ. Tương tự cho các điểm còn lại B, C, D. Câu 4: Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Có duy nhất một vectơ cùng phương với mọi vectơ. B. Có ít nhất hai vectơ có cùng phương với mọi vectơ. C. Có vô số vectơ cùng phương với mọi vectơ. J I A B C B' G Hình 1.7