Tiêu đề 4. PP Tọa độ của điểm-vec tơ _HS.pdf ✅

1 CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Bài 1: VECTƠ TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT : 1. Định nghĩa: Hệ trục tọa độ gồm hai trục vuông góc Ox và Oy với hai vectơ đơn vị lần lượt là i j , . Điểm O gọi là gốc tọa độ, Ox gọi là trục hoành và Oy gọi là trục tung. Kí hiệu Oxy hay (O i j ; , ) 2. Tọa độ điểm, tọa độ vec tơ . + Trong hệ trục tọa độ (O i j ; , ) nếu u xi y j = + thì cặp số ( x y; ) được gọi là tọa độ của vectơ u , kí hiệu là u x y = ( ; ) hay u x y ( ; ). x được gọi là hoành độ, y được gọi là tung độ của vectơ u + Trong hệ trục tọa độ (O i j ; , ) , tọa độ của vectơ OM gọi là tọa độ của điểm M, kí hiệu là M x y = ( ; ) hay M x y ( ; ) . x được gọi là hoành độ, y được gọi là tung độ của điểm M. Nhận xét: (hình 1.31) Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của M lên Ox và Oy thì M x y OM xi y j OH OK ( ; )  = + = + Như vậy OH xi OK y j = = , hay x OH y OK = = , 3. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng. Tọa độ trọng tâm tam giác. + Cho ( ; ), ( ; ) A x y B x y A A B B và M là trung điểm AB. Tọa độ trung điểm M x y ( M M ; ) của đoạn thẳng AB là + + = = , 2 2 A B A B M M x x y y x y + Cho tam giác ABC có A x y B x y C x y ( ; ), ( ; ), ; A A B B C C ( ) . Tọa độ trọng tâm G x y ( G G ; ) của tam giác ABC là + + = 3 A B C G x x x x và + + = 2 A B C G y y y y 4. Biểu thứ tọa độ của các phép toán vectơ. Cho u x y = ( ; ) ; u x y ' ( '; ') = và số thực k. Khi đó ta có : x y O H M K Hình 1.31
2 1)  = =   =  ' ' ' x x u u y y 2) u v x x y y  =   ( '; ') 3) k u kx ky . ( ; ) = 4) u ' cùng phương u ( u  0 ) khi và chỉ khi có số k sao cho  =  =  ' ' x kx y ky 5) Độ dài vectơ = + 2 2 u x y 6) Cho ( ; ), ( ; ) A x y B x y A A B B thì AB x x y y = − − ( B A B A ; ) = = − + − 2 2 ( ) ( ) AB AB x x y y B A B A B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI. 1. Dạng 1: Tìm tọa độ của vectơ; các phép toán trên vectơ trên hệ trục tọa độ (O;i) Phương pháp giải. ❖ Phương pháp. -Dùng định nghĩa vectơ u xi y j = + thì u x y = ( ; ) hay u x y ( ; ). - Dùng công thức tính tọa độ của vectơ u v, u v, k u + − Với u ( x; y ) = ; u' ( x'; y') = và số thực k , khi đó u v ( x x'; y y')  =   và k.u ( kx;ky ) = Ví dụ 1: Trong mặt phẳng Oxy , cho 3 vecto: a b c = = − = − − ( 3; 2 1;5 2; 5 ) ( ) ( ) Tìm tọa độ của vectơ sau a) a b + b) b c − c) k a b = + 2 d) l a b c = − + + 2 5 Lời giải: --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ 2: Trong hệ trục tọa độ (O i j ; ; ) cho hai véc tơ a i j = − 2 4 ; b i j = − + 5 3 . Tìm tọa độ của vectơ u a b = − 2 Lời giải: --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ 3: Cho a b c = = − = − (1;2), ( 3;4) ; ( 1;3). Tìm tọa độ của vectơ u biết
3 a) 2 3 0 u a b − + = b) 3 2 3 3 u a b c + + = Lời giải: --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ 4: Cho a = (1;2) và b = (3;4). Tìm độ dài của các vectơ a b , và 2 3 a b + Lời giải: 2. Dạng 2: Bài toán liên quan đến sự cùng phương của hai vectơ. Phân tích một vectơ qua hai vectơ không cùng phương. 1. Phương pháp. • Cho u x y = ( ; ) ; u x y ' ( '; ') = . Vectơ u ' cùng phương với vectơ u ( u  0 ) khi và chỉ khi có số k sao cho  =  =  ' ' x kx y ky Chú ý: Nếu xy  0 ta có u ' cùng phương  = x y ' ' u x y • Để phân tích c c c ( 1 2 ; ) qua hai vectơ a a a b b b ( 1 2 1 2 ; , ; ) ( ) không cùng phương, ta giả sử c xa yb = + . Khi đó ta quy về giải hệ phương trình  + =  + =  1 1 1 2 2 2 a x b y c a x b y c Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho các vectơ u = −( 2;1) và v i m j = − 3 . Tìm m để hai vectơ u , v cùng phương. Lời giải: --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ 2: Cho = + − ( ) 2 u m m 2 ;4 và v m = ( ;2) . Tìm m để hai vecto u v, cùng phương. Lời giải: --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ 3: Cho các vectơ a b c = − = − − = (4; 2 , 1; 1 , 2;5 ) ( ) ( ) . Phân tích vectơ b theo hai vectơ a c và Lời giải: Ví dụ 4: Cho a b = = − (3;2), ( 3;1)
4 a) Chứng minh a và b không cùng phương b) Đặt u x a y b = − + + (2 ) (3 ) . Tìm x y, sao cho u cùng phương với xa b + và a b + . Lời giải: 3. DẠNG 3: Tìm tọa độ điểm, tọa độ vectơ trên mặt phẳng Oxy . 1. Phương pháp. • Để tìm tọa độ của vectơ a ta làm như sau Dựng vectơ OM a = . Gọi H K, lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên Ox Oy , . Khi đó a a a ( 1 2 ; ) với = = 1 2 a OH a OK , • Để tìm tọa độ điểm A ta đi tìm tọa độ vectơ OA • Nếu biết tọa độ hai điểm ( ; ), ( ; ) A x y B x y A A B B suy ra tọa độ AB được xác định theo công thức AB x x y y = − − ( B A B A ; ) Chú ý: OH OH = nếu H nằm trên tia Ox (hoặc Oy ) và OH OH = − nếu H nằm trên tia đối tia Ox (hoặc Oy ) 2. Các ví dụ: 1-Bài tập tự luận: Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy . Cho điểm M x y ( ; ) . Tìm tọa độ của các điểm a) M1 đối xứng với M qua trục hoành b) M2 đối xứng với M qua trục tung c) M 3 đối xứng với M qua gốc tọa độ Lời giải: --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ 2: Trong hệ trục tọa độ (O; i ; j ), cho hình vuông ABCD tâm I và có A(1;3) . Biết điểm B thuộc trục (O; i ) và BC cùng hướng với i . Tìm tọa độ các vectơ AB BC , và AC