Tiêu đề B3.1_Tự Luận (Bản Giáo Viên).pdf ✅

CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Page 1 Sưu tầm và biên soạn BÀI 3: HÀM SỐ LIÊN TỤC I. KHÁI NIỆM 1. Hàm số liên tục tại một điểm. Cho hàm số f  x xác định trên khoảng a;b và x0 a;b. Hàm số y  f  x gọi là liên tục tại 0 x nếu     0 0 lim  x x f x f x . Nhận xét: Hàm số f  x không liên tục tại 0 x được gọi là f  x gián đoạn tại 0 x và 0 x là điểm gián đoạn của hàm số f  x. 2. Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn. Hàm số y  f  x liên tục trên một khoảng a;b nếu hàm số liên tục tại mọi điểm trên khoảng đó. Hàm số y  f  x được gọi là liên tục trên a;b nếu nó liên tục trên a;b và lim    , lim           x a x b f x f a f x f b . Nhận xét: Nếu hàm số f  x liên tục trên đoạn a;b và f a f b  0 thì tồn tại ít nhất một điểm ca;b sao cho f c  0 . II. MỘT SỐ ĐỊNH LÍ CƠ BẢN 1. Tính liên tục của một số hàm số sơ cấp cơ bản. CHƯƠN GIII GIỚI HẠN HÀM SỐ LIÊN TỤC I LÝ THUYẾT. = = = I
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Page 2 Sưu tầm và biên soạn Các hàm số đa thức P x và hai hàm số lượng giác y  sin x, y  cos x liên tục trên tập  . Các hàm số phân thức hữu tỉ và hai hàm số lượng giác y  tan x, y  cot x là những hàm số liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng. Hàm căn thức x liên tục trên nửa khoảng 0; . 2. Tính liên tục của tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm liên tục. Giả sử y  f  x và y  g  x là các hàm số liên tục tại điểm 0 x . Khi đó: a) Các hàm số y  f  x  g  x, y  f  x  g  x, y  f  x.g  x liên tục tại 0 x . b) Hàm số      f x y g x liên tục tại 0 x nếu g  x0   0 . DẠNG 1: HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM Câu 1: Xét tính liên tục của hàm số   2 1 f x x   tại điểm 0 x  2 Lời giải Tập xđ: D   \1,2D .     2 2 2 lim lim 1 2 x x 1 f x f   x     Vậy hàm số liên tục tại 0 x  2 . Câu 2: Xét tính liên tục của hàm số          1 3 2 2 ( ) 2 2 x x x x f x 1 1 khi x khi x   tại x0 = 1 Lời giải Tập xđ: D  ,1D.   1 1 2 f     1 1 1 lim lim x x 2 2 x f x           2 2 1 1 1 3x 2 2 1 lim lim lim x x 1 x 1 2 x x f x x x                Vậy hàm số liên tục tại 0 x 1. II HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN. = = =I
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Page 3 Sưu tầm và biên soạn Câu 3: Cho hàm số 3 8 khi 2 ( ) 2 1 khi 2 x x f x x mx x            . Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số liên tục tại x  2 . Lời giải D  ,1D f  x xác định trên  . Ta có f 2  2m 1 và     3 2 2 2 2 8 lim lim lim 2x 4 12 x x 2 x x f x x   x         . Để f  x liên tục tại x  2 thì     2 11 lim 2 2 1 12 x 2 f x f m m        . Câu 4: Chon hàm số   3 3 3 3 x khi x f x x m khi x           Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số liên tục tại x  3. Lời giải Hàm số đã cho xác định trên . Ta có     2 3 3 3 3 3 lim lim lim 1 x x 3 x 3 x x f x x x               . Tương tự ta có   3 lim 1 x f x    . Vậy     3 3 lim lim x x f x f x      nên   3 limx f x  không tồn tại. Vậy với mọi, hàm số đã cho không liên tục tại x  3. Câu 5: Xét tính liên tục của hàm số   2 , khi 1 1 2 3 , khi 1               x x x f x x x x . tại 0 x  1 Lời giải Ta có: f 1 1 và     1 lim 1     x f x .              2 1 1 1 1 2 2 2 3 lim lim lim lim 1 1 2 2 2                      x x  x    x   x x x x x f x x x x x x x . Suy ra:         1 1 lim  lim       x x f x f x . Vậy hàm số gián đoạn tại x  1. Câu 6: Cho hàm số   4 6 , khi 2 2 , khi 2            x x f x x a x . Tìm tất cả các giá trị của a để hàm số liên tục tại x  2 . Lời giải 
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Page 4 Sưu tầm và biên soạn Ta có: f 2  a .   2 1 1 4 6 1 1 lim lim lim   2 4 6 2 6           x x x x f x x x . Hàm số liên tục tại x  2 khi và chỉ khi     2 1 lim 2  2 6    x f x f a . Câu 7: Cho hàm số     2 2 2 1 , 1 3 , 1 , 1            x x f x x x k x . Tìm k để f  x gián đoạn tại x 1. Lời giải TXĐ: D  . Với x 1 ta có:   2 f 1  k Với x  1 ta có:     2 1 1 lim lim 3 4        x x f x x ;     2 1 1 lim lim 1 4        x x f x x suy ra   1 lim 4   x f x . Vậy để hàm số gián đoạn tại x 1khi   2 1 lim  x f x k 2  k  4  k  2 . Câu 8: Cho và là các số thực khác . Tìm hệ thức liên hệ giữa và để hàm số   2 1 1 khi 0 4 5 khi 0 ax x f x x x b x            liên tục tại x  0 . Lời giải Cách 1: Theo kết quả đã biết thì   0 0 1 1 lim lim x x 2 ax a f x   x     . Mặt khác f 0  5b . Để hàm số đã cho liên tục tại x  0 thì     0 lim 0 10 x f x f a b     . Câu 9: Cho hàm số 3 7 3 1 , 1 ( ) 1 , 1             x x x f x x ax x . Tìm a để hàm số liên tục tại 0 x 1. Lời giải   3 3 1 1 1 7 3 1 7 2 2 3 1 lim lim lim   1  1 1                    x x x x x x x f x x x x          2 1 3 3 1 3 1 lim 1 2 3 1 1 7 2. 7 4                                 x x x x x x x x a b 0 a b