Nội dung text Chương 2 - BĐT qua các đề thi chọn HSG cấp THPT - Năm 2017 - 2018.doc
Chương hai BĐT QUA CÁC ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP THPT Năm học 2017 – 2018 Bài 92 (Hà Nội – Lớp 12). Cho hàm số f: R R thỏa mãn điều kiện 1tansin2cos2,;. 222fxxxx Tìm GTLN và GTNN của biểu thức 22sincos,.fxfxxR Bài 93 (Lớp 12 Vòng 1, Bảng A – Long An). Với a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 2017. Tìm GTLN của biểu thức: 4 . 111 abc P abc Bài 94 (Lớp 12 Vòng 1, Bảng A – Long An). Với a, b, c là các số thực dương. Tìm GTNN của biểu thức: 3 23 .P aababcabc Bài 95 (Lớp 12 Vòng 1, Bảng B – Long An). Với a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a 2 + b 2 + c 2 = 3. Tìm GTNN của biểu thức: 333 111 . 181818 P abc Bài 96 (Hải Dương). Với a, b, c là ba số thực dương. Tìm GTNN của biểu thức: 22 18 . 28 225 P abbc bac Bài 97 (Quảng Trị). Với a, b, c là các số thực dương có tích bằng 1. Tìm GTLN của biểu thức: 6.abcPabc bca Bài 98 (Lớp 12 – Tây Ninh). Với a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng: 333333444 111 3. 262626abbcca Bài 99 (Phú Yên). Với ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a 2 + b 2 + c 2 = 1. Tìm GTNN của biểu thức: .bccaab P abc Bài 100 (Thái Nguyên). Với x, y, z là các số thực dương. Tìm GTNN của biểu thức: 23 739 max,,,.Pxyz xyz Bài 101 (Lớp 11 – Vĩnh Long). Với a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác, p là nửa chu vi của tam giác đó. Chứng minh rằng: 11118 . papbpcabc
Bài 102 (Quảng Ninh). Với x, y là các số thực khác 0 thỏa mãn 44442.xyxy Tìm GTNN của biểu thức: 22 22 44 1 . 111 xy P yzxy Bài 103 (TP. Hồ Chí Minh). Với các số thực dương a, b, c có tổng bằng 3. a) Tìm GTNN của biểu thức: 12 .Pabc abbcca b) Chứng minh k = 10 là số nguyên nhỏ nhất sao cho BĐT 1 3 kk abc abbcca Luôn đúng với mọi a, b, c thỏa mãn điều kiện trên. Bài 104 (Lạng Sơn). Với ba số thực dương a, b, c có tổng bằng 9. Tìm GTNN của biểu thức: 333 222222.abc P aabbbbccccaa Bài 105 (Bình Dương). Tìm tất cả các số thực k sao cho BĐT sau đúng với mọi số thực a, b, c: 2222 222 .max;; 3 . abc abbccakabbcca abc Bài 106 (Kon Tum). Với ba số thực dương a, b, c thỏa mãn 222222222 .abbccaabc Chứng minh rằng: 222222 322322322 3 . 2 abbcca cababcbca Bài 107 (Quảng Nam). Với ba số thực không âm a, b, c có tổng 3. Tìm GTNN, GTLN của biểu thức: 222 444.Paabbcc Bài 108 (Ninh Bình). Với ba số thực dương a, b, c thỏa mãn 3bc + 4ca + 5ab 6abc. Tìm GTLN của biểu thức: 32 .abc P abbcca Bài 109 (Hậu Giang). Với ba số thực dương a, b, c thỏa mãn ab +bc + ca = 2, a 2 + b 2 + c 2 = 4. Tìm GTLN của biểu thức P = abc. Bài 110 (Hải Phòng). Với a, b, c là các số thực thuộc đoạn [0; 1] và có tổng bằng 2. Chứng minh rằng: 222333222243. 33abcabcabcabc Bài 111 (Quảng Bình – Lớp 11). Với a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 333222 2. 444444 abc abcbcacab
Bài 112 (Long An – Lớp 12). Với a, b, c ,d là các số thực không âm thỏa mãn a, b, c, d 1. Chứng minh rằng: 3. 1111 abcd bcdacdabdabc Bài 113 (Hà Nam – Lớp 12). Với a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab > 1 và c(a + b + c) > 3. Tìm GTNN của biểu thức: 226ln2. 11 bcac Pabc ab
LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN 92 (Hà Nội – Lớp 12) Cho hàm số f: R R thỏa mãn điều kiện 1tansin2cos2,;. 222fxxxx Tìm GTLN và GTNN của biểu thức 22sincos,.fxfxxR Lời giải. Với mỗi ; 22x tồn tại t R sao cho t = tanx và ngược lại. Do đó ta có thể viết lại giả thiết như sau: 22 222 1211 (),. 2111 tttt fttR ttt Như vậy biểu thức cần tìm GTNN, GTLN là: 4242 44 sinsin1coscos1 .. 1sin1cos xxxx P xx Hướng 1: Sử dụng công thức hạ bậc ta được: 42422 442 1 sinsin1coscos1cos434cos431 64 . 1 1sin1coscos414cos4113 64 xxxxxx xxxx Vậy nên ta cần tìm GTLN, GTNN của biểu thức: 2 2 cos434cos431 . cos414cos4113 xx P xx Đặt cos4ux với -1 u 1 ta cần tìm GTLN, GTNN của hàm số: 2 2 3431 (). 14113 uu gu uu Bằng cách khảo sát hàm số, ta được 11 () 225gu , hay nói cách khác 11 . 225P Đẳng thức có thể xảy ra từ đó có được kết luận cho bài toán. Hướng 2: (Võ Quốc Bá Cẩn) Từ đẳng thức quen thuộc 22sincos1.xx Nên hướng suy nghĩ tự nhiên ta sẽ đặt 22asin,cosxbx khi đó a + b = 1 và biểu thức trên được rút gọn lại là: 2 2 41 . 22 uu P uu Với 2 1 0. 24 ab uab Bằng công cụ đạo hàm ta cũng tìm được GTLN, GTNN như hướng 1. Nhận xét: Khi ta đoán được GTLN, GTNN hoặc có thể tìm được bằng công cụ đạo hàm như trên, thì có thể chứng minh lại đơn giản như sau (Đơn cử ta lấy hướng 1 để xử lý, hướng 2 bạn đọc hãy làm tương tự):