Tiêu đề 0105 - Bài tập_ Dãy số cho theo kiểu quy nạp[Lời giải + Đáp án].pdf ✅

Học online tại: https://mapstudy.vn _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Thầy Phạm Ngọc Lam Trường 1 BÀI TẬP: GIẢI TÍCH I CHƯƠNG I: DÃY SỐ BÀI TẬP: DÃY CHO THEO KIỂU QUY NẠP Bài 1: Xét dãy số 1 n 1 n n 1 x 1, x x , n 1 x + = = +  a) CMR: dãy x n không có giới hạn hữu hạn. b) CMR: n n lim x → = + Hướng dẫn giải a) Giả sử dãy có giới hạn hữu hạn là a, từ n 1 n n 1 x x x + = + cho n → được 1 a a a = + , rõ ràng không có a thỏa mãn. Vậy dãy không có giới hạn hữu hạn, đpcm b) Trước tiên: 1 2 1 n 1 1 x 1 0 x x 0 ... x 0 n x =   = +      Từ đây suy ra: n 1 n n n 1 x x x n x + = +   tức là dãy tăng. Nếu dãy bị chặn trên nữa thì sẽ hội tụ, mâu thuẫn với câu a. Vậy suy ra dãy không bị chặn trên. Dãy tăng và không bị chặn trên thì n n lim x → = +, đpcm Bài 2: Xét sự hội tụ và tìm giới hạn (nếu có) của dãy số x n : 1 n 1 n n 1 1 x 0; x x , n 1 2 x +    = +      Hướng dẫn giải Trước tiên, 1 2 1 n 1 1 1 x 0 x x 0 ... x 0 2 x     = +           n 1 Từ đó n 1 n n n n 1 1 1 1 x x 2 x 1 2 x 2 x +   = +  =       n 1 Xét n 1 n n n n n n 1 1 1 1 x x x x x 0 2 x 2 x +     − = + − = −          vì n x 1  NNNNNNNNNNNNNNNNN https://www.facebook.com/tailieukhoahocmappi NNNNNNNNNNNNNNNNN https://www.facebook.com/tailieukhoahocmappi NNNNNNNNNNNNNNNNN https://www.facebook.com/tailieukhoahocmappi NNNNNNNNNNNNNNNNN https://www.facebook.com/tailieukhoahocmappi Đăng Ký Khóa Học Online Tại Fanpage: Tài Liệu Khóa Học Mappi Tài Liệu Được Chia Sẻ Bởi Fanpage: Tài Liệu Khóa Học Mappi
Học online tại: https://mapstudy.vn _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Thầy Phạm Ngọc Lam Trường 2 Vậy dãy đã cho giảm, bị chặn dưới từ đó nó hội tụ, gọi giới hạn là a ( a 1  ), từ công thức truy hồi n 1 n n 1 1 x x 2 x +   = +     cho n → được: 1 1 1 a a a a 1 2 a a   = +  =  =     (loại giá trị - 1). Vậy n n lim x 1 → = Bài 3: Tính n lim 2 2 ... 2 →+ + + + (n dấu căn) Hướng dẫn giải Đặt n x 2 2 ... 2 = + + + với n dấu căn, rõ ràng n 1 n x 2 x + = + (truy hồi). Trước tiên, 1 2 1 n x 2 2 x 2 x 2 2 2 ... x 2 n =   = +  + =     Và cũng có dãy dương, từ đó: ( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 n 1 n n n n n n 1 n n 1 n x x 2 x x 2 x 1 x 0 x x x x + + + − = + − = − +      , dãy tăng Vậy dãy tăng, bị chặn trên nên hội tụ, gọi giới hạn là a (0 < a ≤ 2). Từ công thức truy hồi cho n → được a 2 a a 2 = +  = Vậy n lim 2 2 ... 2 2 →+ + + + = (n dấu căn) Bài 4: Tìm giới hạn của dãy: 1 n 1 n u 2 ; n N * u 2 u +   =    = +  Hướng dẫn giải Ta sẽ chứng minh dãy bị chặn: n 2 u 2   (bằng phương pháp quy nạp) • 1 u 2 = (đúng) • Giả sử k u 2, k 1    Ta có: u 2 u 2 2 2 k 1 k 1 k + = +  +    ( ) Vậy k u 2 k 2    . Ta xét k k 1 u u ; k N * +    2 2 k m k k k k   +   +  − −  u 2 u u 2 u u u 2 0 k  −   1 u 2 (luôn đúng vì k 2 u 2, k N *     ) Vậy dãy (un) tăng; bị chăn trên nên có giới hạn, gọi n n 1 a lim u lim u + = = Ta có: 2 n n lim u 2 lim u a 2 a a 2 a = +  = +  = + NNNNNNNNNNNNNNNNN https://www.facebook.com/tailieukhoahocmappi NNNNNNNNNNNNNNNNN https://www.facebook.com/tailieukhoahocmappi NNNNNNNNNNNNNNNNN https://www.facebook.com/tailieukhoahocmappi NNNNNNNNNNNNNNNNN https://www.facebook.com/tailieukhoahocmappi Đăng Ký Khóa Học Online Tại Fanpage: Tài Liệu Khóa Học Mappi Tài Liệu Được Chia Sẻ Bởi Fanpage: Tài Liệu Khóa Học Mappi
Học online tại: https://mapstudy.vn _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Thầy Phạm Ngọc Lam Trường 3 ( ) ( ) 2 a 2 a a 2 0 a 1 Đ S  =  − − =    = −  Bài 5: Tìm giới hạn của dãy: 1 n 1 n n u 3 1 3 u u ; n N * 2 u +  =      = +       Hướng dẫn giải Ta có: n u 0, n N *    Theo bất đăng thức Cô - si, ta có: n 1 n n 1 3 u u 3, n N * 2 u +   = +        Vậy (Un) là dãy bị chặn dưới Vì 2 2 n n n n 1 n n n n 1 3 1 u u 3 u 3 u u u 2 u 2 u +         = +  +           ( n n n ) 1 u u u , n N * 2 = + =   Dãy đã cho là giảm. Vậy dãy có giới hạn. Đặt n 1 n lim u lim u a + = = Ta có: n n n 1 3 lim u lim u 2 u     = +           1 3 2 a a a 3 a 3 2 a    = +  =  =     Bài 6: Tìm giới hạn của dãy: 1 2 n n 1 n u 5 2 u u ; n N * 2u +  =   +  =   Hướng dẫn giải Ta có: n 1 n n 1 1 u u 2 u 2 + = +  (Theo bất đẳng thức Cô - si với n u 0  ). Vậy (un) là dãy bị chặn dưới Dấu "=" không xảy ra, nên n u 2 n N *     Lại có: 2 n 1 n 2 2 n n n u 2 u 1 1 u 2 2u u + + = = + . Vì 2 n n u 2 u 2    2 2 n 1 n n n 1 1 1 1 1 1 1 u u , n N * U u 2 2 2 2    +  + =     + Vậy dãy giảm, khi đó un có giới hạn. Đặt lim lim u lim u a a 0 n 1 n + = =  ( ) Ta có: 2 2 n 2 2 n 1 n 2 u 2 a lim u lim a 2a 2 a 2u 2a + + + =  =  = + NNNNNNNNNNNNNNNNN https://www.facebook.com/tailieukhoahocmappi NNNNNNNNNNNNNNNNN https://www.facebook.com/tailieukhoahocmappi NNNNNNNNNNNNNNNNN https://www.facebook.com/tailieukhoahocmappi NNNNNNNNNNNNNNNNN https://www.facebook.com/tailieukhoahocmappi Đăng Ký Khóa Học Online Tại Fanpage: Tài Liệu Khóa Học Mappi Tài Liệu Được Chia Sẻ Bởi Fanpage: Tài Liệu Khóa Học Mappi
Học online tại: https://mapstudy.vn _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Thầy Phạm Ngọc Lam Trường 4 2  =  = a 2 a 2 (vì a > 0) Bài 7: Tìm giới hạn của dãy: 1 n 1 n u 2 u 2.u ; n N * +   =   =   Hướng dẫn giải Ta có: 1 2 u 2;u 2 2 ;... = = • Ta sẽ chứng minh n u 2, n N*    (bằng phương pháp quy nạp) 1 n 1, u 2 2 = =  . Giả sử k u 2, k 1    Ta có: k 1 k u 2u 2.2 4 2 + =  = = Vậy n u 2, n N    . Lại có: n u N*  • Lại có: n 1 n n n n u 2u 2 2 1 u u u 2 + = =  =  dãy tăng Vậy dãy đã cho có giới hạn. Đặt lim u lim u a a 0 n 1 n + = =  ( ) Ta có: 2 n 1 n lim u lim 2u a 2a a 2a a 2 + =  =  =  = Bài 8: Cho dãy số thực n (u ) xác định bởi: 1 n 1 n 2 n 1 u 1 u u ; n 2 u 1 − −  =   =    +  Chứng minh rằng dãy số n (u ) có giới hạn hữu hạn khi n→+ Hướng dẫn giải • Đây là dãy quy hồi dạng n n 1 u f (u ) − = • Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng n u 0, n 1,    vậy n (u ) bị chặn dưới. • Xét tính đơn điệu của n (u ) : Từ hệ thức (1) ta suy ra được 3 n n n 1 n n 2 1 n n u u n N ,u u u 0, u 1 u 1    − = − = −  + + + vậy n (u ) giảm • Do n (u ) giảm và bị chặn dưới nên nó có giới hạn. Gỉa sử n lim a →+ = thì a 0  • Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n→+ ta có: 2 a a a 0 a 1 =  = + • Vậy dãy số n (u ) có giới hạn hữu hạn khi n→+ và n n lim u 0 →+ = NNNNNNNNNNNNNNNNN https://www.facebook.com/tailieukhoahocmappi NNNNNNNNNNNNNNNNN https://www.facebook.com/tailieukhoahocmappi NNNNNNNNNNNNNNNNN https://www.facebook.com/tailieukhoahocmappi NNNNNNNNNNNNNNNNN https://www.facebook.com/tailieukhoahocmappi Đăng Ký Khóa Học Online Tại Fanpage: Tài Liệu Khóa Học Mappi Tài Liệu Được Chia Sẻ Bởi Fanpage: Tài Liệu Khóa Học Mappi