Tiêu đề CHUYÊN ĐỀ 1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN.pdf ✅

CHUYÊN ĐỀ 1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Hệ phương trình có dạng , trong   đó là các số thực cho trước; x, y là ẩn.. ' ' ' ax by c I a x b y c        a,b,c,a ',b',c ' Hệ (I) được gọi là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số. Một bộ  thoả mãn được gọi là 0 0 x ; y 0 0 0 0 ' ' ' ax by c a x b y c        nghiệm của hệ Để giải hệ phương trình bậc nhât hai ẩn số ta cần tìm cách chuyển về phương trình một ẩn. Để làm điều đó, ta thường dùng các cách sau Cách 1: Phương pháp cộng đại số Giả sử , khi aa  0 đó để làm mất x, ta nhân phương trình thứ nhất của hệ với a' và nhân phương trình thứ hai của hệ với a ta được ' ' ' ' ' ' aa x ba y ca a ax ab y ac        Trừ theo vế hai phương trình của hệ ta được ba ' ab' y  ca ' ac ' . Giải phương trình này ta tìm được y, sau đó thay vào hệ ta tìm được x. Ví dụ 1. Giải các hệ phương trình sau: 1 2 7 2 3 5 2 3 1) ; 2) . 3 5 2 5 3 1 3 2 x y x y x y x y                  Hướng dẫn giải 1) Nhân hai vế phương trình thứ nhất với 3 và nhân hai vế phương trình thứ hai với 2 ta được: 6 9 15 6 10 4 x y x y         Trừ theo vế hai phương trình ta được 19y 19  y  1 Thay vào hệ ta được 2x  31  5  2x  2  x 1 Vậy nghiệm của hệ đã cho là .  x; y  1;1 2) Hệ đã cho tương đương với 3 4 42 . 10 9 6 x y x y        Nhân hai vế phương trình thứ nhất của hệ với 9 và nhân hai vế phương trình thứ hai với 4 ta được 27 36 378 40 36 24 x y x y        Cộng theo vế hai phương trình của hệ ta được 67x  402  x  6 Thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta được3.6  4y  42  y  6.
Vậy nghiệm của hệ là .  x; y  6;6 Ví dụ 2. Giải hệ phương trình:     2 1 2 1 2 3 5 1 1) ; 2) 4 7 12 3 1 2 1 2 x y x y x y x y                     Hướng dẫn giải 1) Hệ đã cho tương đương với 12 20 4 . 12 21 36 x y x y        Trừ theo vế hai phương trình của hệ ta được 32 41 32 . 41  y    y  Thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta có 5.32 201 67 3 1 3 41 41 41 x    x   x  Vậy nghiệm của hệ là   67 32 ; ; . 41 41 x y        2) Hệ đã cho tương đương với       2 3 2 1 3 2 3 3 2 3 2 1 2 1 3 2 2 x y x y                  Trừ theo vế hai phương trình của hệ ta được:   . 6 2 3 2 1 6 2 2 3 2 1 y y         Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có 3x  1 2  2 1 2  3x  3 x 1. Vậy nghiệm của hệ là  x; y  1; 2 . Ví dụ 3. Giải hệ phương trình 3 10 2 1 4 6 1 1 4 2 3 3 1 3 2 1) 2) 4 3 29 2 4 3 2 3 4 4 2 3 15 3 1 3 2                                    x x x y x y y y x x x x y y y Hướng dẫn giải Đặt ta có hệ 1 1 , 4 ' 2 3     a b x y x y
3 10 1 12 40 4 29 29 4 3 12 9 15 5                      a b a b a b a b Trừ theo vế hai phương trình của hệ ta được . 49 1 49 5 5  b    b  Từ đây suy ra 1 1 3 10. 1 5 3 a     a  Do đó ta có: 4 3 12 3 9 2 3 5 2 3 5 x y x y x y x y                Cộng theo vế hai phương trình của hệ ta có 14x 14  x 1  4  y  3  y 1 Vậy nghiệm của hệ là  x; y  1;1 2) Đặt , ta có hệ 2 1 2 3 , 3 1 3 2 x x a b y y       2 1 2 4 2 2 3 2 3                   a b a b a b a b Trừ theo vế hai phương trình của hệ ta được 5b  5  b 1 a  2.1  1 a 1. Do đó ta có 2 1 1 3 1 2 3 2 . 2 3 2 2 6 1 3 2 x y x y x x y y                    Trừ theo vế hai phương trình của hệ theo vế ta được 4 4 11 5 4 3 . 5 5 5  y    y   x    Vậy nghiệm của hệ là   11 4 ; ; . 5 5 x y        Ví dụ 4. Giải hệ phương trình: 2 2 9 5 26 . 7 2 32 x y x y         Hướng dẫn giải Điều kiện: y  0.
Đặt . Ta có hệ phương trình 2 a  x ,b  y;a,b  0 9 5 26 18 10 52 . 7 2 32 35 10 160 a b a b a b a b                Cộng theo vế hai phương trình của hệ ta được 53a  212  a  4 10b 18.4  52  b  2 Do đó ta có 2 4 2 . 2 4             x x y y Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là .  x; y  2;4 Cách 2: Phương pháp thế Giả xử . a  0 Từ phương trình ta suy ra . Thao vào ax  by  c phương trình thứ hai ta được c by x a  ' ' ' c by a b y c a   Giải phương trình này ta tìm được y, từ đó suy ra x. Ví dụ 5. Giải các hệ phương trình sau:       1 1 5 3 2 5 3 2 1) ; 2) ; 4 3 1 3 4 1 2 3 3 1 2 3 1 3 3 3) 3 1 3                             x y x y x y x y x y x y Hướng dẫn giải 1) Từ phương trình ta có . Thay vào 3x  2y  5 phương trình thứ hai của hệ ta được: 3 5 2 x y   3 5 4 3 1 8 9 15 2 1 2 x x x x x          Suy ra 3 5 1. 2 y     Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là .  x; y  1;1 2) Hệ đã cho tương ứng với 2 3 30 . 9 8 6        x y x y Từ phương trình ta có . Thay vào 2x  3y  30 phương trình thứ hai ta được 30 3 2 y x  