Tiêu đề Bài 5_Dãy số_Lời giải.pdf ✅

BÀI GIẢNG TOÁN 11 – KNTT– PHIÊN BẢN 25-26 1 CHƯƠNG II: DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN BÀI 5: DÃY SỐ A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. ĐỊNH NGHĨA DÃY SỐ a) Nhận biết dãy vô hạn - Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương * ¥ được gọi là một dãy số vố hạn (gọi tắt là dãy số), kí hiệu là u u n = ( ). - Ta thường viết n u thay cho u n( ) và kí hiệu dãy số u u n = ( ) bởi un , do đó dãy số un  được viết dưới dạng khai triển 1 2 3 , , , , , n u u u u 1⁄4 1⁄4 Số 1 u gọi là số hạng đầu, n u là số hạng thứ n và gọi là số hạng tổng quát của dãy số. Chú ý. Nếu * , n " Î = n u c ¥ thì un  được gọi là dãy số không đổi. a) Nhận biết dãy hữu hạn - Mỗi hàm số u xác định trên tập M m = 1⁄4 {1;2;3; , } với * mÎ¥ được gọi là một dãy số hữu hạn. - Dạng khai triển của dãy số hữu hạn là 1 2 , , , m u u u 1⁄4 . Số 1 u gọi là số hạng đẩu, số mu gọi là số hạng cuối. 2. CÁCH CHO MỘT DÃY SỐ Một dãy số có thể cho bằng: - Liệt kê các số hạng (chỉ dùng cho các dãy hữu hạn và có ít số hạng); - Công thức của số hạng tồng quát; - Phương pháp mô tả; - Phương pháp truy hồi. 3. DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM VÀ DÃY SỐ BỊ CHẶN a) Nhận biết dãy số tăng giảm - Dãy số un  được gọi là dãy số tăng nếu ta có n n 1 u u + > với mọi * nÎ¥ . - Dãy số un  được gọi là dãy số giảm nếu ta có n n 1 u u + < với mọi * nÎ¥ . b) Nhận biết dãy số bị chặn - Dãy số un  được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho n u M£ với mọi * nÎ¥ . - Dãy số un  được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho n u m3 với mọi * nÎ¥ . - Dãy số un  được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m M, sao cho m u M n £ £ với mọi * nÎ¥ .
BÀI GIẢNG TOÁN 11 – KNTT– PHIÊN BẢN 25-26 2 B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1. Tìm số hạng của dãy số 1. Phương pháp Một dãy số có thể cho bằng: - Liệt kê các số hạng (chỉ dùng cho các dãy hữu hạn và có ít số hạng); - Công thức của số hạng tồng quát; - Phương pháp mô tả; - Phương pháp truy hồi. 2. Các ví dụ Ví dụ 1. Cho dãy số ( n u ) xác định bởi ( 1) 2 1 n n n u n + - = + . Tìm 5 số hạng đầu tiên của dãy số. Lời giải Ta có 1 2 3 4 5 ( 1) 3 2 5 4 0; ; ; ; 2 1 5 7 9 11 n n n u u u u u u n + - = Þ = = = = = + . Ví dụ 2. Cho dãy số  , n u từ đó dự đoán n u a)   1 1 5 : 3 n n n u u u u + ìï = í ï = + î ; b)   1 1 3 : 4 n n n u u u u + ìï = í ï = î Lời giải a) Ta có:     1 2 3 4 5 5 1.3 5 2.3 5 3.3 ... 5 1 .3 * n u u u u u n = = + = + = + = + - b) Ta có   1 2 2 3 3 4 1 3 3.4 3.4 3.4 ... 3.4 * n n u u u u u - = = = = = Ví dụ 3. Cho dãy số  , n u từ đó dự đoán n u a)   1 1 1 : 2 3 n n n u u u u + ìï = í ï = + î ; b)   1 2 1 3 : 1 n n n u u u u + ì = ï í ï = + î Lời giải a) Ta có:
BÀI GIẢNG TOÁN 11 – KNTT– PHIÊN BẢN 25-26 3   2 1 3 2 4 3 5 4 1 1 2 3 5 2 3 13 2 3 29 2 3 ... 2 3 * n n u u u u u + = = - = = - = = - = = - = - b) Ta có   2 1 2 2 2 3 2 4 3 3 3 0 10 3 1 11 3 2 12 3 3 ... 3 1 * n u u u u u n = = + = = + = = + = = + = + - Dạng 2. Tính tăng giảm của dãy số 1. Phương pháp  (un) là dãy số tăng  un+1 > un, " n Î N*.  un+1 – un > 0 , " n Î N*  1 1 n n u u + > ,"n Î N* ( un > 0).  (un) là dãy số giảm  un+1 < un với "n Î N*.  un+1 – un< 0 , " n Î N*  1 1 n n u u + < , "n Î N* (un > 0). 2. Các ví dụ Ví dụ 1. Xét tính đơn điệu của dãy số sau: a) 2 3 n u n = + b) 2 n nn u = Lời giải a) Ta có: 1 1 2 3; 2( 1) 3 2 5 (2 5) (2 3) 0 n n n n u n u n n u u n n + + = + = + + = + Þ - = + - + > Suy ra n n 1 u u + > Þdãy số đã cho là dãy tăng. b) Ta có: 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 ; 2 2 2 2 2 n n n n n n n n n n n n n u u u u n n n + + + + + + + + = = Þ = × = = Giả sử: 1 1 1 1 1 1 1 1 4 3 1 2 4 n n u n n n n n u n n + + + = >  >  + >  < Þvô lý. Vậy 1 1 1 n n n n u u u u + + <  < Þ dãy số đã cho là dãy số giảm. Ví dụ 2. Xét tính đơn điệu của dãy số sau: