Tiêu đề Đề Thi Olympic Toán Trại Hè Phương Nam 2019 [Đáp Án].pdf ✅

Lời giải chi tiết Bài 1. Giải hệ phương trình sau trên tập số thực: � (x + y − 1)(x2 + y + 2) = 4y (4 − x − y)y = x2 + 2 . Lời giải. Hệ phương trình tương đương với � (x + y − 1)(x2 + y + 2) = 4y (5 − x − y)y = x2 + y + 2 Nếu y = 0 thì x2 + 2 = 0, vô lý. Vì thế nên y �= 0. Khi đó ta đặt z = x2 + y + 2 y thì hệ phương trình sẽ trở thành: � (x + y − 1)z = 4 5 − x − y = z ⇔ � x + y = 3 z = 2 ⇔ � x2 + x − 1 = 0 y = 3 − x . Vậy các nghiệm của hệ phương trình là (x, y) = � 1 + √5 2 , 7 − √5 2 � , � 1 − √5 2 , 7 + √5 2 � . Bài 2. Cho tam giác không cân ABC, trong đó BC là cạnh có độ dài bé nhất. Kí hiệu (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Gọi K là trung điểm của cung BC không chứa A của (O). Trên cạnh BC lấy điểm D, khác với B, C. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm E, F sao cho AE = CD và AF = BD. Hai đường thẳng KD và EF cắt nhau tại H. 1. Chứng minh 4 điểm C, K, F, H cùng nằm trên một đường tròn. 2. Đường tròn ngoại tiếp các tam giác BDE và CDF cắt nhau tại điểm thứ hai là P. Chứng minh rằng đường thẳng DP đi qua tâm đưởng tròn bàng tiếp góc A của tam giác ABC. Lời giải. 1. Gọi KD cắt (O) tại T. Khi đó ta có T B T C = DB DC = AF AE ⇒ �AEF ∼ �T CB Từ đó ∠AF E = ∠T BC = ∠TKC ⇒ ∠CF H = ∠CKH ⇒ CKF H nội tiếp.
2. Gọi L là tâm bàng tiếp góc A và (CDF) cắt (O) tại Q, suy ra �QAF ∼ �QBD mà AF = BD nên QA = QB, từ đó CQ là phân giác ngoài ∠ACB nên CQ đi qua tâm bàng tiếp L. Ta lại có LC · LQ = LK · LA, tương tự ta suy ra phương tích của L đối với (CDF) và (BDE) cùng bằng LK ·LA nên DP đi qua L. � Bài 3. Cho ba số nguyên a, b, c thỏa mãn các số a + b − c, ab − c − 1, a − b + c − 1 đồng thời chia hết cho 31. Chứng minh rằng a + bc chia cho 31 dư là 8. Lời giải. Ta có a + b ≡ c ≡ b − a + 1 (mod 31) ⇔ 2a ≡ 1 ≡ 32 (mod 31) ⇔ a ≡ 16 (mod 31). Thay a ≡ 16 (mod 31) vào lại, ta được � b + 16 ≡ c (mod 31) 16b ≡ c + 1 (mod 31) ⇔ � b + 16 ≡ 16b − 1 (mod 31) b + 16 ≡ c (mod 31) ⇔ � b ≡ 28 (mod 31) c ≡ 13 (mod 31) . Vậy nên a + bc ≡ 16 − 13 · 3 ≡ 8 (mod 31).
Bài 4. Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn đa thức P(x) = x3 + 2ax2 + (2a2 +b)x+c có ba nghiệm thực (không nhất thiết phân biệt) và b là một trong ba nghiệm đó. Chứng minh rằng 1. |b| ≤ 2. 2. |ac| < √ 3. Lời giải. 1. Gọi 2 nghiệm còn lại của P(x) lần lượt là h và g, theo định lý Viette    h + g + b = −2a hg + hb + gb = 2a2 + b hgb = −c Khi đó 4a2 = (h + g + b) 2 = h2 + g2 + b2 + 2(hg + hb + gb) = h2 + g2 + b2 + 2(2a2 + b), suy ra b2 + 2b = −h2 − g2 ≤ 0, do đó b2 + 2b ≤ 0 ⇔ −2 ≤ b ≤ 0 ⇒ |b| ≤ 2. 2. Ta có 4a2 = (h + g + b) 2 ≤ 3(h2 + g2 + b2 ) = −6b ≤ 12 ⇔ |a| ≤ 3. Mặt khác h2 + g2 = −b2 − 2b ≤ 1 ⇒ 2|hg| ≤ 1 nên |ac| = |ahgb| = |a||hg||b| ≤ √ 3 · 1 2 · 2 = √ 3 Dấu bằng xảy ra khi h = g = 0 và h2 = g2 = 1 2 , mâu thuẫn. Vậy |ac| < √ 3. � Bài 5. Có 21 đơn vị tham gia hoạt động giao lưu bên lề kỳ thi Olympic Trại hè Phương Nam lần thứ VI. Tai buổi giao lưu, mỗi đơn vị sẽ tặng các lá cờ lưu niệm có in logo của đơn vị mình cho một số đơn vị khác. Xét k là một số nguyên dương, Ban tổ chức buổi giao lưu sẽ sắp xếp việc tặng cờ theo các quy tắc sau: • Mỗi đơn vị trao đúng k lá cờ lưu niệm có logo đơn vị mình cho k đơn vị khác. • Với hai đơn vị bất kì, luôn có ít nhất một đơn vị tặng lá cờ có in logo của đơn vị mình cho đơn vị kia. Hãy xác định số nguyên dương k bé nhất để Ban tổ chức có thể sắp xếp việc tặng cờ theo các quy tắc trên.