Tiêu đề Chương 7_Bài 27_Thể tích_Lời giải_Toán 11_KNTT.pdf ✅

BÀI 27: THỂ TÍCH A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM Phần không gian được giới hạn bởi hình chóp, hình chóp cụt đều, hình lăng trụ, hình hộp tương ứng được gọi là khối chóp, khối chóp cụt đều, khối lăng trụ, khối hộp. Đỉnh, mặt, cạnh, đường cao của các khối hình đó lần lượt là đỉnh, mặt, cạnh, đường cao của hình chóp, hình chóp cụt đều, hình lăng trụ, hình hộp tương ứng. • Thể tích của khối chóp có diện tích đáy S và chiều cao h là 1 3 V h =  S . • Thể tích của khối chóp cụt đều có diện tích đáy lớn S , diện tích đáy bé S và chiều cao h là ( ) 1 3 V h =   + S S S S   +  • Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy S và chiều cao h là V h = S. Nhận xét • Thể tích khối tứ diện bằng một phần ba tích của chiều cao từ một đỉnh và diện tích mặt đối diện với đỉnh đó. • Thể tích của khối hộp bằng tích của diện tích một mặt và chiều cao của khối hộp ứng với mặt đó. Ví dụ 1. Cho khối tứ diện OABC có các cạnh OA OB OC , , đôi một vuông góc với nhau và OA a OB b OC c = = = , , . Tính thể tích của khối tứ diện. Lời giải. Tam giác vuông OBC có diện tích là 1 2 OBC S bc = . OA vuông góc với mặt phẳng (OBC) nên tứ diện OABC có chiều cao ứng với đỉnh A bằng OA. Vậy thể tích của khối tứ diện là 1 1 3 6 V AO S abc OABC OBC =  = . (H.7.94)
Luyện tập 1. Cho khối chóp đều S ABCD . có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng . Tính thể tích của khối chóp. Lời giải Do S ABCD . là hình chóp đều nên SO ABCD ⊥ ( ) ABCD là hình vuông nên 2 2 a AO = Tam giác SAO vuông tại O=> 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 SA SO AO a a SO b b b a SO = +   = − = −       − = = Vậy thể tích của khối chóp là: 2 2 2 . 1 2 . . 3 2 S ABCD b a V a − = Ví dụ 2. Cho khối lăng trụ ABC A B C     có đáy là các tam giác đều cạnh a , mặt ( ACC A ) vuông góc với hai mặt đáy, tam giác A AC cân tại A và AA b a b  =  ( 2 ) . Tính thể tích của khối lăng trụ. Lời giải. (H.7.95) Gọi AH là đường cao của tam giác cân A AC . Khi đó, H là trung điểm của AC . Do ( ACC A ABC  ) ⊥ ( ) và A H AC  ⊥ nên A H ABC  ⊥ ( ) . b
Vậy khối lăng trụ có chiều cao 2 2 2 2 4 a A H AA AH b  = − = − . Tam giác đều ABC có diện tích là 2 3 4 ABC a S = . Vậy khối lăng trụ có thể tích là ( ) 2 2 2 2 2 2 3 4 3 4 4 8 ABC a b a a a V A H S b   =  − = − = . Luyện tập 2. Cho khối chóp cụt đều ABC A B C     có đường cao HH h  = , hai mặt đáy ABC A B C ,    có cạnh tương ứng bằng 2 , a a . a) Tính thể tích của khối chóp cụt. b) Gọi 1 1 B C, tương ứng là trung điểm của AB AC , . Chứng minh rằng AB C A B C 1 1    là một hình lăng trụ. Tính thể tích khối lăng trụ AB C A B C 1 1     . Lời giải a) Thể tích của khối chóp cụt là: 1 2 2 2 2a 3 3 V h a h =   = b) Ta có 1 1 1 1 1 2 2 2 B C AB AC BC = + = Để tính thể tích của khối lăng trụ, ta sử dụng công thức: V S h =  d Trong đó, d S là diện tích đáy của lăng trụ. Ta có: 1 2 2 2 2 2 d S a a a =   = Chiều cao của lăng trụ bằng chiều cao của khối chóp cụt, do đó thể tích của khối lăng trụ là: 2 V h =  2a Ví dụ 3. Cho khối hộp ABCD A B C D      có AB AD AA BAD = = = = 8 cm, 5 cm, 6 cm, 30  , góc giữa AA và ( ABCD) bằng 45 . Tính thể tích của khối hộp. Lời giải. (H.7.97)
Hình bình hành ABCD có diện tích là ( ) 1 2 2 2 sin 20 cm 2 ABCD ABD S S AB AD BAD   = =  =     . Gọi H là hình chiếu của A trên ( ABCD) . Khi đó, A AH bằng góc giữa AA và ( ABCD) nên AAH = 45 . Trong tam giác vuông A AH , ta có ( ) 6 2 sin 3 2 cm 2 A H A A A AH    =  = = . Khối hộp ABCD A B C D      có chiều cao tương ứng với mặt ABCD bằng A H = 3 2 cm ( ). Do đó, thể tích của khối hộp là ( ) 3 V A A S =   = ABCD 60 2 cm . Vận dụng. Một sọt đựng đồ có dạng hình chóp cụt đều (H.7.98). Đáy và miệng sọt là các hình vuông tương ứng có cạnh bằng 60 cm,30 cm , cạnh bên của sọt dài 50 cm . Tính thể tích của sọt.. Lời giải Gọi A B C D , , , lần lượt là các đỉnh của đáy sọt. Theo giả thiết, ta có: AB BC CD DA cm EF FG GH HE cm và HC cm 60 , 30 , 50 . = = = = = = = = = Gọi O là trung điểm của miệng sọt, ta sẽ tính toán độ dài của đường cao OH . Ta có: ( ) 2 2 2 2 OH HC OC cm = − = − = 50 30 40 Diện tích mặt đáy của sọt: Gọi S là diện tích mặt đáy của sọt. Ta có: ( ) 2 2 2 S AB cm = = = 60 3600 Gọi V là thể tích của sọt. Theo công thức thể tích của hình chóp cụt đều, ta có: 3 ) 1 1 3600 40 48000( 3 3 V S OH cm =  =   = Vậy thể tích của sọt là 3 48000 . cm B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1. Khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy 1. Phương pháp • Một hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy thì cạnh bên đó chính là đường cao. • Một hình chóp có hai mặt bên kề nhau cùng vuông góc với đáy thì cạnh bên là giao tuyến của hai mặt đó vuông góc với đáy. 2. Ví dụ Ví dụ 1: Cho tứ diện OABC có đáy OBC là tam giác vuông tại O, OB = a, OC = a 3 , (a > 0) và đường cao OA = a 3 . Tính hể tích khối tứ diện theo a . Lời giải Ta có: = = = 2 OBC 1 1 a 3 S OB.OC a(a 3) 2 2 2